Виды бесконечностей – , ,

8 фактов о бесконечности — ЧТД

Бесконечность как понятие — верх абстракции. В этом отношении с ней может соперничать разве что скорость света или черная дыра. Чтобы приручить идею бесконечности, математики веками придумывали знаки, образы и истории, которые примиряют наш разум с тем, что невозможно себе представить.

1. Знак бесконечность

У бесконечности есть свой собственный символ: ∞. Этот знак иногда называют лемнискатой. Его в 1655 году придумал протестантский пастор и математик Джон Валлис. Слово «лемниската» происходит от латинского lemniscus, что значит «лента».

Возможно, придумывая знак бесконечности, Валлис взял за основу символ числа 1000, записанного римскими цифрами (CIƆ или CƆ), который римляне часто использовали для обозначения бесчисленности предметов. По другой версии, символ бесконечности отсылает к омеге (Ω или ω) — последней букве греческого алфавита.

Концепция бесконечности была предложена задолго до того, как Валлис придумал для нее символ. Например, древнегреческий философ Анаксимандр ввел понятие «апейрон», означавшее некое беспредельное первовещество.

2. Апории Зенона

Одна из самых известных апорий древнегреческого философа Зенона называется «Ахиллес и черепаха»: черепаха предлагает Ахиллесу бежать наперегонки, с тем условием, что она начнет движение немного раньше.

Черепаха уверена в своей победе, потому что в тот момент, как Ахиллес достигнет точки старта черепахи, она уже проползет чуть дальше, вновь увеличивая расстояние между ними.

Таким образом, несмотря на то, что расстояние будет сокращаться, Ахиллес никогда не догонит черепаху. Этот парадокс можно объяснить иначе. Представьте, что вы пересекаете комнату, с каждым шагом преодолевая половину оставшегося расстояния. Сначала ваш шаг будет равен половине общего расстояния, затем четверти, затем 1/8-й, 1/16-й и т.д. Хотя с каждым следующим шагом вы будете все ближе к противоположной стене комнаты, дойти до конца невозможно: вам нужно будет совершить бесконечное количество шагов.

3. Число Пи

Еще один пример бесконечности — число π: математики используют для него специальный символ, поскольку оно состоит из бесконечного количества цифр. Чаще всего его сокращают до 3,14 или 3,14159, но сколько бы знаков ни стояло после запятой, записать это число полностью невозможно.

4. Теорема о бесконечных обезьянах

Эта теорема утверждает, что если абстрактная обезьяна будет бесконечно долго бить по клавишам пишущей машинки, рано или поздно она напечатает шекспировского «Гамлета». Хотя некоторые видят в этой теореме подтверждение того, что все возможно, математики обычно используют ее в качестве примера события с очень низкой вероятностью.

5. Фракталы

Фрактал — это абстрактный математический объект, используемый в том числе для изображения феноменов, имеющих природное происхождение. В математике это множество, обладающее свойством самоподобия: его части подобны целому. Визуально такой объект представляет собой фигуру, где один и тот же мотив повторяется в последовательно уменьшающемся масштабе. Поэтому изображение фрактала можно бесконечно приближать: при увеличении масштаба проступают все новые детали.

Записанные в виде математического уравнения, большинство фракталов представляют собой недифференцируемые функции. 

6. Размеры бесконечности

Хотя бесконечность не имеет границ, она может иметь разные размеры. Положительные и отрицательные числа представляют собой два бесконечных набора равного размера. Однако что будет, если сложить эти два набора? Получится нечто в два раза большее каждого из них.

Подобным образом можно рассмотреть четные числа: это также бесконечный набор, однако он в два раза меньше набора всех положительных чисел.

Кроме того, можно попробовать прибавить к бесконечности единицу и убедиться в том, что число ∞ + 1 всегда будет больше ∞.

7. Космология и бесконечность

Космологи продолжают изучать Вселенную и размышлять над концепцией бесконечности. Бесконечен ли космос? На этот вопрос по-прежнему нет ответа. Даже если наша физическая Вселенная конечна, есть вероятность, что она является лишь одной Вселенной из многих!

8. Деление на ноль

Мы знаем со школы, что деление на ноль — арифметически запрещенный прием. Число 1, поделенное на 0, не может быть определено: любой калькулятор выдаст код ошибки. Однако согласно другой теории, 1/0 есть вполне допустимая форма бесконечности.

4td.fm

Что такое бесконечность?

Статья посвящена поиску ответа на вопрос, что такое бесконечность? Наверняка, многих мучает этот вопрос, так что же такое бесконечность? Какой смысл у этого слова? Я тоже задумывалась над этим вопросом и попыталась найти на него ответ. Ведь, бесконечность может быть в виде математического знака восьмерки, или же эта вселенная у которой нет конца и начала. Надеюсь, после прочтения статьи, вы сможете понять значения этого слова, которое волнует каждого человека.

Как в философии появилась бесконечность?

Философия, говоря по определению, как бы сфера плюральности. Философия возможно больше исследует, чем действительное. В этом ее блеск и нищета. Бесконечность появилась уже не из философской сферы, а религиозной. Потому что актуальная бесконечность пришла в европейскую мысль, когда произошло обращение Европы к христианству, пришла ближневосточная культура, библейские предсказания о Боге, монотеизм. То есть Бог бесконечен, бесконечно мудрый, Бог есть бесконечно милостивый (в христианском богословии). Для античности Бог был конечен, вот тогда и начались попытки осмыслить это философии. (Программа Александра Гордона «Осознание и признание бесконечности. Что собой представляет эта величина?»; 2016-04-17)

Термин бесконечность соответствует нескольким различным понятиям, в зависимости от области применения, будь то математика, философия, или повседневная жизнь. Бесконечность появилась как абстрактное количественное обозначение чего-то непостижимо большого, в применении к сущностям без пространственных или временных границ. (Доклад профессора, доктора философских наук Кармина Анатолия Соломонович; 2016-04-17)

Как заметил Аристотель, мышление человеческое – это вещь особенная. Оно, как он пишет, не останавливается, то есть мышление не может остановится. Вы сказали один, два, три, пошли дальше. На три нельзя остановиться должно быть что-то четверное, то есть принцип математической индукции. Где граница? Мы не можем досчитать до бесконечности, к примеру до миллиона, но это займет очень много времени. Если мы оборвем счет, то мы будем знать, что оборвали счет. На самом деле можно считать дальше. Отсюда возникает понятие, которое уже носит математический характер, потенциальная бесконечность.

Потенциальная бесконечность – бесконечно продолжающийся процесс. Например, бесконечное число рядов, бесконечная линия, прямая линия в геометрии.

Затем философы стали думать о том, а нет ли такой бесконечности, которая была бы действительно неограниченна, то есть не имела бы никакой границы в реальности. Это Бог. Бог – это все, все создано богом. Если Бог это все, то его нельзя определить, то есть Бог не имеет никаких пределов, границ не потому, что он практически бесконечен, он теоретически бесконечен. Но как он бесконечен? У него, что потенциальная бесконечность? Он актуально бесконечен.

Понятие актуально бесконечен впервые появилось в философии, то есть какая-то субстанция. Есть конечный мир, а есть бесконечное что-то за пределами нашего мира – трансцендентное.

Вселенная актуально бесконечна в математическом смысле. Если провести прямую линию от земли куда-то в даль, она вся отдана вселенной со своей бесконечностью. А если в вселенная может продолжаться и расширятся, то она потенциально бесконечна. Как устроена вселенная? Вселенная – бесконечное пространство, она трех мерна. (Доклад профессора, доктора философских наук Кармина Анатолия Соломоновича; 2016-04-17)

Также бесконечность неразрывно связана с обозначением бесконечно малого, к примеру, ещё Аристотель сказал:

«… всегда возможно придумать большее число, потому что количество частей, на которые можно разделить отрезок, не имеет предела. Поэтому бесконечность потенциальна, никогда не действительна; какое бы число делений не задали, всегда потенциально можно поделить на большее число. «

Бесконечность изменяется во времени, но всему этому есть логика. Например, человеческим открытиям, знаниям и бесконечность тоже развивается логически.

Если заглянуть в древнюю философию, то категория бесконечности вообще не отличалась от категории неопределенности. Можно сделать вывод, что бесконечность – это нечто неопределенное. Именно так, слово бесконечность понималось в древности. Отсюда возникло понятие, понятие практическая бесконечность, то есть мы считаем бесконечным то, что практически для нас не имеет видимых границ. Например, у А.С. Пушкина «Евгений Онегин»:

«И бесконечный котильон

Ее томил, как тяжкий сон.»

(Доклад профессора, доктора философских наук Кармина Анатолия Соломоновича; 2016-04-17)

То есть бесконечность – нечто большое, бесконечное.

Как бесконечность стала предметом точной науки?

Если посмотреть на математику XIX века, она представляла собой конфедерацию математических теорий, каждая их которых формировала свой взгляд на бесконечное. Скажем, геометрия, в ней было бесконечное перечисление параллельных прямых, в анализе – это были бесконечно большие или бесконечно малые величины. Но общим подходом было то, что математика в целом понимала бесконечность, как нечто отрицательное, нечто противоположное в конечному. (Программа Александра Гордона «Осознание и признание бесконечности. Что собой представляет эта величина?»; 2016-04-17)

Понятие бесконечности в физике и математике

Рассматривая различные случаи использования понятия бесконечности в науке, нельзя не заметить, что смысл этого понятия меняется в зависимости от обстоятельства, в которых оно употребляется.

В физике бесконечным считается то, что по отношению к изучаемым явлениям чрезвычайно велико или чрезвычайно мало. Например, при изучении движения тел около земной поверхности можно считать расстояние от Земли до Солнца бесконечно большим и соответственно действие солнечного тяготения на них бесконечно малым. Как справедливо отмечает Г. И. Наан, «во всех физических задачах бесконечность означает просто «достаточно далеко». Это могут быть и парсеки (в астрономии), и километры или метры (в электродинамике), и даже миллиардные и значительно меньшие доли сантиметра в теории атомного ядра». (Г. И. Наан Общие вопросы космологии «Труды шестого совещания по вопросам космогонии», Изд в АН СССР, 1959, 256 с.)

Тем самым бесконечность выступает здесь как бесконечное лишь в строго определенном отношении, будучи в других отношениях конечным.

Понимаемую таким образом бесконечность можно назвать «физической» бесконечностью. «Физическая» бесконечность позволяет получать ценные научные выводы, достаточно строгие и точные.

«Физическая» бесконечность – научная абстракция, с помощью которой мы получаем возможность выразить определенные, объективно существующие отношения между вещами. Но она отражает эти отношения односторонне, упрощенно. Поэтому в каждом конкретном случае область ее использования ограничена.

В отличии от абстракции «физической» бесконечности математическое понимание бесконечного выступает, как абстракция «более высокого ранга». (Кармин А. С. Постановка проблемы бесконечности в современной науки. Ленинград, 1965, 124 с.)

Различают два основных вида математической бесконечности: потенциальная и актуальная. Первая, как я уже сказала выше, означает неограниченно продолжающийся процесс, вторая – актуально, налично существующую в виде завершенного целого бесконечную величину. С помощью этих абстракций в различных разделах математики создаются разные математические образы бесконечного. Математическая бесконечность начинает тогда казаться образцом, которому, как идеалу, должна следовать природа. Однако реальная бесконечность природы не должна обязательно подчиняться нашим математическим представлениям о бесконечности. «Идеальная потребность математика вовсе не есть принудительный закон для реального мира» (Ф. Энгельс. Анти-Дюринг. Госполитиздат, 1953, стр. 49).

Бесконечность в математике принимается как число количественная определенность, как бесконечное количество. Но количество «вообще», количество как таковое, безотносительно к качественной определённости есть абстракция. В реальном мире в отличии от мира абстракции количество всегда есть количество какого-то качества. (Кармин А. С. Постановка проблемы бесконечности в современной науки. — Ленинград, 1965, 124 с.)

Значит, математические абстракции бесконечности имеют реальный смысл лишь как выражение бесконечного количества некоего качества. Но в природе все имеет меру, и всякое качество связано с определенными границами присуще ему количественных изменений.

Как мы вообще приходим к понятию бесконечности?

Допустим, что мы начинаем считать, двигаясь по натуральному ряду чисел. Можно ли путем такого движения и счета получить понятие бесконечности, т. е. можно ли дойти до такого числа, которое необходимо было бы назвать бесконечным? Конечно, нельзя. Сколько бы мы ни двигались по натуральному ряду чисел, мы никогда не дойдем до бесконечности. Следовательно, целых чисел мало для конструкции понятия бесконечности; тут нужны совсем другие подходы.

Если не хватает натурального ряда чисел, возьмем числовое инобытие и посмотрим, не встретим ли мы здесь категорию бесконечного числа. Однако, что такое инобытие? Инобытие числа, если его брать в чистом виде, во всем абсолютно противоположно числу: число есть четкая раздельность, инобытие числа–сплошная неразличимость; число – устойчивость и прерывность, числовое инобытие – неуловимая подвижность и алогическая непрерывность. В таком виде взятое, числовое инобытие никакого отношения к бесконечности не имеет.

Бесконечность прежде всего есть нечто; сущность же инобытия заключается именно в том, что оно не есть нечто (иначе оно было бы бытием, а не инобытием), а существует оно всегда только в отношении числа и бытия. О числовом инобытие нельзя ни того, что он конечен, ни того, что он бесконечен. Об инобытии, если его брать в чистом виде, невозможно никакое утверждение. Оно живет именно размывом и становлением. Таким образом, бесконечного числа на этом пути мы не можем достигнуть. Тут повторяется, собственно говоря, то же бессилие, что и в случае с целым числом. В крайнем случае чистое инобытие приводит к беспредельному становлению, при котором ни о какой новой точке становления нельзя сказать, что эта точка бесконечно удалена от начала становления. Инобытие делает как бы бессильный жест в сторону бесконечности, но не дает самой бесконечности. (Лосев А.Ф. Хаос и Структура. – Москва «Мысль», 1997, 495-496 с.)

О сказанном выше, я задаюсь вопросом, есть ли такое состояние мысли – мысль о бесконечности? Мне кажется, что нет. Это, как и движение по натуральному ряду чисел, есть не конструкция бесконечности, а лишь бессильный жест в сторону бесконечности и полная невозможность сказать о ней что-нибудь положительное.

Бесконечность как философская категория

В наиболее широком смысле понятие бесконечности использует философия. Действительно, диалектический материализм рассматривает бесконечность как ее атрибут.

Рассматривая бесконечность в наиболее широком плане, диалектика материалистическая философия получает возможность выделить то наиболее общее и существенное, что характеризует бесконечность, как атрибут материи и что как или иначе лежит в основе всех научных представлений о ней, поскольку все они являются в конечном счете представлениями об одном и том же. Таким образом, научно философское, диалектик материалистическое понимание бесконечности может рассматривать как обобщение различных абстракций бесконечности, используемых в науке.

Категория бесконечности тесно связана с категориями абсолютного и относительного. Абсолютное и относительное в материальном мире образует нереальное единство. Любые конкретные процессы, состояния, свойства, качества материи являются относительными. Но в их постоянном движении, изменении, превращении выявляется абсолютное.

Бесконечность обнаруживается нами всегда и выступает как форма проявления абсолютного. Признание бесконечности материи, движения, пространства и времени следует именно из признания их абсолютности. (Кармин А. С. Постановка проблемы бесконечности в современной науки. — Ленинград, 1965, 125 с.)

Таким образом, абсолютное существует не само по себе «в чистом виде», а лишь через относительное. Однако, появляясь в относительности, абсолютное не может быть сведено к нему. Эта противоречивая взаимосвязь и выражается категорией бесконечности. Бесконечность представляет собой не что иное, как способ разрешения противоречия между абсолютным и относительным, способ из взаимного перехода друг в друга.

Особенности постановки проблемы бесконечности в философии и естественных теориях

Как я уже говорила, существует некоторое различие между употреблением понятия абсолютности в философии и его употреблением в естественных теориях.

Философия рассматривает понятие абсолютности в самом общем значении, считая абсолютным лишь то, что непреложно всеобще для мира «в целом», для материи «вообще». В философском понимании абсолютны лишь наиболее общие законы и атрибуты бытия: например, движение, пространство и время, закон перехода количественных изменений в качественные.

Любой естественнонаучный закон в этом более узком смысле абсолютен, ибо иначе он вообще не был бы законом. Каждая конкретная научная теория, имея перед собой всегда определенную конкретную область исследования, считает абсолютным то, что непреложно в данной области, то есть то, сто абсолютно не «вообще», а лишь в отмеченном более узком смысле.

Ясно, что это абсолютное за пределами данной области действительности является относительным. Однако то, что одно и то же может выступать в одном отношении как абсолютное, а в другом как относительное, — это объективный факт. Например, то, что вода закипает при 100°С – это абсолютный, всеобщий закон природы. Но в то же время, будучи зависимым от условий, которые могут быть, а могут и не быть, этот закон оказывается относительным. (Кармин А. С. Постановка проблемы бесконечности в современной науки. — Ленинград, 1965, 126 с.)

Таким образом, он и абсолютен и относителен, и это не смешение понятий, а отражение диалектической противоречивости объективного мира.

Следовательно, в отличии от философии, понятие абсолютного в рамках всякой естественнонаучной теории есть абстракция. Эта абстракция нужна и полезна, но она теряет силу тогда, когда невозможно отвлечься от изменения данных условий и приходится учитывать новые, иные условия.

Реальная бесконечность природы есть выражение ее абсолютного характера – абсолютного в самом полном и широком смысле слова. Так как в философии речь идет именно об «абсолютном в общем», «безусловно абсолютном», то она вырабатывает наиболее общие понятия бесконечности, отражающие реальную конечность природы в общем виде.

В естественнонаучных теориях понятие бесконечности тоже употребляется как выражение абсолютного его соотношении с относительным. Но абсолютное тут понимается не как «абсолютное вообще», а как «абсолютное при определенных условиях», и поэтому бесконечность выступает тоже не как реальная бесконечность вообще, а как бесконечность при определенных условиях. Бесконечность конкретных свойств и состоянии материи – это не реальная бесконечность. (Кармин А. С. Постановка проблемы бесконечности в современной науки. — Ленинград, 1965, 127 с.)

Таким образом, наиболее общая постановка проблемы бесконечности дает только философия. Поскольку она относится к конкретным свойствам и состояниям материи, а не ко всей материи вообще.

Бесконечность пространства

Если говорить о пространстве вообще как универсальной форме существования материи, то оно выступает как абсолютное в самом широком смысле. Как говорилось выше, что это абсолютное пространство бесконечно, и бесконечность его есть реальная бесконечностью.

Но если речь идет о физическом пространстве – о пространстве, окружающем нас и обладающем определенной, свойственной ему структурой, — то оно не является «абсолютным вообще».

Значит, то конкретное физическое пространство, которое изучается естественными науками, не бесконечно. Бесконечность есть его научная абстракция, и когда в естествознании говорится о бесконечности пространства, то обычно имеется в виду не реальная бесконечность, а именно эта абстракция. Она основана на абсолютизации пространства и поэтому носит характер «дурной» бесконечности. Она полезна и даже необходима, но ее нельзя принимать за реальную бесконечность пространства. Сфера применяемой этой абстракции ограничена. (Кармин А. С. Постановка проблемы бесконечности в современной науки. — Ленинград, 1965, 127 с.)

Исходя из этого можно сказать, что на некотором этапе развития науки, когда придется рассматривать пространство в новых отношениях и перед ними раскроются новые, более общие свойства и формы его, тогда ограниченность абстракции будет обнаружена и мы столкнемся с необходимостью считать «наше» физическое пространство конечным.

Парадокс обнаруженный А. Л. Зельмановым, находит рациональное объяснение, что не инвариантность бесконечности, то есть «дурная» пространственная бесконечность – это относительность бесконечности конкретного определенного физического пространства. Значит, о бесконечности можно говорить только в определенных отношениях, абстрагируясь от других отношений, в которых оно является конечным.

Также находит подтверждение в исследованиях А. З. Петрова о том, что реальная бесконечность пространства гораздо сложнее, чем «дурная» бесконечность. Она важна не только в физических, но и философских отношениях. Путем анализа алгебраической структуры уравнений Эйнштейна А. З. Петров показал, что имеются три различных типа пространства. Но если в бесконечной Вселенной имеются пространства различных типов, то «дурная» бесконечность становится бессмысленной.

Если в этих условиях реальная бесконечность пространства отожествляется с его «дурной» бесконечностью, то невозможно считать пространство бесконечным. Это, вероятно, послужило причиной того, что некоторые ученые, стоящие на позициях диалектического материализма, стали пытаться вообще пересмотреть положение марксистской философии о бесконечности пространства. Например, Э. Кольман.

В статье «Современная физика в поисках дальнейшей фундаментальной теории» Э. Кольман считает, что «если только математика, физика, космология низведут – каждая у себя – понятие бесконечности до вспомогательного понятия, до абстрактной экстраполяции, то понятие бесконечности не сможет в философии сохранить свое прежнее положение». («Вопросы философии», 1965, №2, стр. 119) Но, во-первых, Э. Кольман сам признает необходимость использовать это понятие, говоря о бесконечном многообразии материи и бесконечных изменениях ее, то есть считает бесконечность атрибутом материи, а во-вторых, если бесконечность все же является атрибутом материи, то приходится признать необходимость философской категории бесконечности, которая выражает то общее и существенное, что лежит в основе научных абстракций бесконечности. Ограниченность этих абстракций обусловлена тем, что бесконечности вообще нет, а тем, что они являются односторонними, упрощёнными образами ее. Мысль Э. Кольмана верна в том смысле, что философское понятие бесконечности нельзя сводить к «дурной» бесконечности или тому подобной «абстрактной экстраполяции», что философия должна дать более глубокое понятие бесконечности. (Кармин А. С. Постановка проблемы бесконечности в современной науки. — Ленинград, 1965, 128-129 с.

В заключении хочу сказать, что бесконечность или бесконечное столь же познаваемо, как и непознаваемо, и раскрытие его сущности может происходить лишь в виде «бесконечного асимптотического прогресса» (по положению Энгельса), то есть все атрибуты и законы материи оказываются одновременно специфическими и частными для всего мира, например, пространство, время, движение, системность. Когда мы говорим о том, что мир есть единое связное целое, то можно определить, что здесь подразумевается понятие «целое». Поскольку Вселенная бесконечна, то о ней нельзя говорить, как о какой-то замкнутой системе, иначе говоря какую бы конкретную систему любого порядка и масштабов мы ни взяли, она будет входить во Вселенную. По моему суждению, во Вселенной нет единого количественного закона развития всех систем, а положение во Вселенной как едином связном целом означает лишь признание материального единства мир (то есть общность материи, как некой субстанции, как носителя многообразных свойств и отношений), подчинение всех объектов тем всеобщим законам, которые исследуются диалектическим материализмом. А диалектический материализм в свою очередь это система взглядов на окружающий мир.

novainfo.ru

Бесконечность — это… Что такое Бесконечность?

Бесконечность — концепция, используемая в математике, философии и естественных науках. Бесконечность какого-то понятия или атрибута некоторого объекта означает невозможность указать для него границы или количественную меру. Точное значение этого термина несколько различается в зависимости от области применения — математика, физика, философия, теология или повседневная жизнь.

Потенциальная и актуальная бесконечность

Когда говорят, что некоторая величина потенциально бесконечна, то имеется в виду, что она может быть неограниченно увеличена. Альтернативой является понятие актуальной бесконечности, которая означает, что рассматривается (как реально существующая) величина, не имеющая конечной меры. Пример: второй постулат Евклида утверждает не бесконечность длины прямой линии, а всего лишь то, что «прямую можно непрерывно продолжать». Это потенциальная бесконечность. Если же рассмотреть всю бесконечную прямую, то она даёт пример актуальной бесконечности.

Античные философы и математики признавали, как правило, только потенциальную бесконечность, решительно отвергая возможность оперировать с актуально бесконечными атрибутами^[1]. Соответственно этой доктрине формулировались научные утверждения. Например, теорема о бесконечности множества простых чисел у античных математиков формулировалась так: «Каково бы ни было простое число P, существует простое число, большее, чем P».

Аристотель писал:

… Всегда возможно придумать большее число, потому что количество частей, на которые можно разделить отрезок, не имеет предела. Поэтому бесконечность потенциальна, никогда не действительна; какое бы число делений ни задали, всегда потенциально можно поделить на большее число^[2].

Именно Аристотель сделал большой вклад в осознание бесконечности, разделив её на потенциальную и актуальную и вплотную подойдя с этой стороны к основам математического анализа, а также указав на пять источников представления о ней:

• время;
• разделение величин;
• неиссякаемость творящей природы;
• само понятие границы, толкающее за её пределы;
• мышление, которое неостановимо.

Бесконечность в большинстве культур появилась как абстрактное количественное обозначение чего-то непостижимо большого, в применении к сущностям без пространственных или временных границ.

Математическому происхождению символа бесконечности предшествовал^[3] религиозный аспект. Подобные символы были найдены среди Тибетских наскальных гравюр; змея, кусающая свой хвост, или змея бесконечности, часто изображается в форме такого символа.

Понятие бесконечности получило развитие в философии и теологии наравне с точными науками. К примеру, в теологии бесконечность Бога не столько даёт количественное определение, сколько означает неограниченность и непостижимость. В философии бесконечность долгое время рассматривалась также как атрибут пространства и времени; в наши дни это дискуссионный вопрос космологии. Например, древнейшим, первым известным, встречающимся в совершенно различных культурах символом бесконечности является змей Уроборос, иногда разворачиваемый в виде перевёрнутой восьмёрки.

В математике не существует одного понятия бесконечности, она наделяется особыми свойствами в каждом разделе. Более того, эти различные «бесконечности» не взаимозаменяемы.^{[источник не указан 106 дней]} К примеру, теория множеств подразумевает разные бесконечности, причём одна может быть больше другой. Скажем, количество целых чисел бесконечно большое (оно называется счётным). Чтобы обобщить понятие количества элементов для бесконечных множеств, в математике вводится понятие мощности множества. При этом не существует одной «бесконечной» мощности. Например, мощность множества действительных чисел больше мощности целых чисел, потому что между этими множествами нельзя построить взаимно-однозначное соответствие (биекцию), а целые числа включены в действительные. Таким образом, в этом случае «число элементов» (мощность) одного множества «бесконечней» «числа элементов» (мощности) другого. Основоположником этих понятий был немецкий математик Георг Кантор.

В математическом анализе ко множеству действительных чисел добавляются два символа  и , применяющиеся для определения граничных значений и сходимости. Сто́ит отметить, что в этом случае речь об «осязаемой» бесконечности не идёт, так как любое утверждение, содержащее этот символ, можно записать, используя только конечные числа и кванторы. Эти символы, как и многие другие, были введены для сокращения записи более длинных выражений.

Символ

В 1655 году Джон Валлис издаёт большой трактат «О конических сечениях» (De sectionibus conicis), где на стр. 5 появляется придуманный им^[4][5] символ бесконечности: ∞. В Юникоде бесконечность обозначена символом ∞ (U+221E), он включён в типографскую раскладку Бирмана версии 2.0 ( AltGr  +  8 ).

См. также

Примечания

1. ↑ Аристотель о бесконечности
2. ↑ Физика III, 6.
3. ↑ Robertson, Robin; Combs, Allan. The Uroboros // Indra’s Net: Alchemy and Chaos Theory as Models for Transformation. — Quest Books, 2009. — ISBN 9780835608626
4. ↑ Scott, Joseph Frederick (1981), «The mathematical work of John Wallis, D.D., F.R.S., (1616-1703)» (2 ed.), AMS Bookstore, с. 24, ISBN 0-828-40314-7, <http://books.google.com/books?id=XX9PKytw8g8C> , Chapter 1, page 24
5. ↑ «COLOG-88: International Conference on Computer Logic Tallinn, USSR, December 12–16, 1988: proceedings», Springer, 1990, с. 147, ISBN 3-540-52335-9, <http://books.google.com/books?id=nfnGohZvXDQC> , page 147

Литература

Ссылки

dic.academic.ru

Бесконечность | Indubhushan das Вики

Шаблон:Другие значения
Бесконечность — категория человеческого мышления, используемая для характеристики безграничных, беспредельных, неисчерпаемых предметов и явлений, для которых невозможно указание границ или количественной мерыШаблон:Sfn. Используется в противоположность конечному, исчисляемому, имеющему предел. Систематически исследуется в математикеШаблон:Переход, логикеШаблон:Переход и философииШаблон:Переход, также изучаются вопросы о восприятии, статусе и природе бесконечности в психологии, теологии, физикеШаблон:Переход соответственно.

Исторически первые проблемы бесконечности — вопросы конечности пространства и времени, количества вещей в мире, более сложные проблемы — возможность бесконечного деления континуумаШаблон:Переход, возможность оперирования с бесконечными объектами (проблема актуальной бесконечностиШаблон:Переход), природа и поведение бесконечно малых величин — инфинитезималейШаблон:Переход, наличие различных типов бесконечности и соотношение между нимиШаблон:Sfn. Наиболее глубокое исследование бесконечности предпринято в математической теории множествШаблон:Переход, в которой построено несколько систем измерений различных видов бесконечных объектов, однако без дополнительных искусственных ограничений такие построения вызывают многочисленные парадоксыШаблон:Переход, пути их преодоления, статус теоретико-множественных построений, их обобщений и альтернатив являются основным направлением исследований бесконечности у философов современностиШаблон:Переход.

Файл:David Gerstein — Infinity Rally.jpg

Основные понятия

Потенциальная и актуальная бесконечность

Бесконечность может рассматриваться как неограниченность некоторого процесса, например, когда во втором постулате Евклида утверждается возможность продолжить бесконечно и непрерывно любую прямую, то имеется в виду, что процесс можно непрерывно продолжать, но существование такого самостоятельного объекта, как бесконечная прямая, из него не следует. Такого рода процессы и совокупности объектов, их описывающие, характеризуют как потенциальную бесконечность (в схоластике используется термин «синкатегорематическая бесконечность»), потенциально бесконечное не подразумевает целостных бесконечных предметов и явлений, в каждой фазе бесконечного процесса рассматриваются лишь конечные сущности, то есть является лишь частичным отрицанием конечногоШаблон:Sfn.

Альтернативой является понятие актуальной бесконечности (в схоластике — «категорематическая бесконечность»), которая означает рассмотрение конечно неизмеримых объектов как данность, как реально существующих, но при этом как единых и целостных, с которыми возможно оперироватьШаблон:Sfn. В таком ключе актуально бесконечное — как прямое и полное отрицание конечного — используют мистики для характеризации различных божественных категорий, математики современности оперируют с актуально бесконечными множествамиШаблон:Переход и актуально бесконечномерными пространствамиШаблон:Переход. Представления о допустимости и содержании актуальной бесконечности в философии, теологии, логике, математике, естествознании существенно менялись на протяжении всего времени рассмотрения вопроса.

Качественная и количественная бесконечность

Качественная бесконечность — категория, определяющая всеобщий, неиссякаемый, универсальный характер связей объектов и явлений^[1], как качественно бесконечные рассматриваются в различные времена в различных философских школах такие категории, как Абсолют, Космос, Бог, Ум и другие.

Количественная бесконечность характеризует процессы и объекты, измерение которых невозможно конечными величинами, с количественной бесконечностью оперируют математики, изучая, например, свойства бесконечных рядов, бесконечномерные пространства, множества из бесконечного количества элементов; в логике и философии исследуются возможности и ограничения такой работы с количественной бесконечностью.

Континуум

Континуум (Шаблон:Lang-la) — форма бесконечности, относящаяся к идее о непрерывности, целостности объектов в смысле возможности бесконечного их разделения на составные части и потенциальной бесконечности этого процесса. Континуальность противопоставляется дискретности, прерывистости, наличию неделимых (атомарных) составляющих. Континуумом представляются отрезки числовой оси (континуум в теории множеств), определённый вид ограниченных и отделимых пространств, в некотором смысле сходных с отрезками числовой оси (континуум в топологии), на основе исследования свойств бесконечной делимости континуума в математике сформировано понятие непрерывности. Вопросы об онтологической природе континуума, статусе континуума в естествознании нашли отражение во многих трудах философов, начиная со времён античности^[2].

Инфинитезималь

Шаблон:Main
Инфинитезимали — бесконечно малые величины, фигурирующие в потенциально бесконечных процессах, характеризующихся последовательным убыванием величин, в частности, при разделении континуума на составные части, в убывающих числовых последовательностях, иногда — в представлении об атомарной структуре мироздания или сознания. Математическое описание инфинитезималей, созданное Ньютоном и Лейбницем в исчислении бесконечно малыхШаблон:Переход, стало базисом математического анализа.Шаблон:Sfn

В математике

Теория чисел

Одним из основных источников ранних представлений о бесконечности были натуральные числа и потенциальная бесконечность натурального ряда. Одним из первых нетривиальных результатов о бесконечности в теории чисел считается доказательство от противного бесконечности множества простых чисел в «Началах» Евклида^[3]: если предположить конечность множества простых чисел, то число, равное сумме Шаблон:Num1 и произведения всех чисел из этого множества, не делится ни на одно из них, но при этом или само является простым, или делится на некоторое простое число, не входящее в исходное множество; и то, и другое противоречит исходной посылке. Теоретико-числовое суждение о бесконечности представляет парадокс Галилея: каждому числу может быть сопоставлен его квадрат, то есть, квадратов не меньше, чем всех чисел, но при этом не из каждого числа можно извлечь корень, то есть, квадраты — только часть множества всех чиселШаблон:Sfn.

В теории чисел не требуется применение какой-либо абстракции актуальной бесконечности, тем не менее, многие её задачи связаны с формулировкой условий бесконечности, например, по состоянию на 2013 год являются открытыми проблемами вопросы о бесконечности множества простых чисел, по модулю которых заданное целое число является первообразным корнем (гипотеза Артина), бесконечности множества простых чисел-близнецов, бесконечности для всякого чётного числа множества пар соседних простых чисел, разность между которыми равна ему (гипотеза Полиньяка), бесконечности множества совершенных чисел.

Бесконечные ряды

Файл:Archimedes Parabola.png

Первое свидетельство применения бесконечного ряда обнаруживается у Архимеда в «Квадратуре параболы», где для доказательства утверждения о соотношении 4:3 площадей сегмента, заключённого между прямой и параболой, и треугольника, имеющего с ним то же основание и равную высоту, он суммирует бесконечный ряд:

$ \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{4^n} = 1 + \frac{1}{4^1} + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{4^3} + \cdots = {4 \over 3} $,

и затем перепроверяет результат методом от противного^[4].

В 1340-е годы Суайнсхед впервые находит сумму бесконечного ряда, не являющегося простой убывающей геометрической прогрессией:

$ \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{2^n} = \frac{1}{2} + \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3} + \frac{4}{2^4} +\cdots = 2 $.

Также в XIV веке с бесконечными рядами работает Орем, используя ясные геометрические доказательства, он получает суммы достаточно нетривиальных числовых рядов, находит (без доказательства) формулу суммы бесконечной геометрической прогрессии и доказывает расходимость гармонического ряда^[4].

В XVI веке, используя результаты Орема, Шаблон:Нп5 находит суммы некоторых бесконечных прогрессий, образованных сложными законами^[4]. В Индии в XV веке были получены разложения тригонометрических функций в бесконечные степенные ряды^[4], наиболее значительный вклад внёс Мадхава из Сангамаграмы^[5].

Менголи в трактате, опубликованном в 1650 году устанавливает ряд важных свойств рядов, вводит понятие остатка ряда, тем самым неявно рассматривая ряды как целостные объекты, а также доказывает расходимость обобщённого гармонического ряда^[6]. Меркатор в 1668 году открывает разложение логарифмической функции в степенной ряд^[7], а в 1667 году Грегори — разложения тригонометрических функций, и, наконец, Тейлор, обобщая результаты Меркатора, Грегори, а также Ньютона, в 1715 году показывает возможность разложить в бесконечный ряд любую аналитическую функцию в заданной точке, тем самым установив возможность представления значений обширного класса функций бесконечными суммами.

Исчисление бесконечно малых

Хотя метод исчерпывания, известный со времён античности, и метод неделимых, сформулированный Кавальери в 1635 году, в той или иной мере используют сведение к бесконечно малым величинам, первые попытки алгебраизации операций с бесконечно малыми были сделаны Валлисом, Барроу и Грегори в середине XVII века, в явном виде математическая абстракция инфинитезималей была создана в 1680-е годы практически одновременно Ньютоном в его «методе флюксий» (бесконечно малых приращений) и Лейбницем (определившим дифференциал)Шаблон:Sfn.

Строгие определения бесконечно малых с использованием понятий предела, сходимости и непрерывности даны в XIX веке Коши и Вейерштрассом, наиболее традиционной в этих определениях стала так называемая Шаблон:Нп5 (например, $ \alpha $ считается пределом по Коши функции $ f $ в точке $ x_0 $, если для любого $ \varepsilon>0 $ найдётся $ \delta > 0 $, что при любых $ x $, удовлетворяющих условию $ 0 < \left| x — x_0 \right| < \delta $, выполнено $ \left| f \left( x \right) — \alpha \right| < \varepsilon $). В более поздних определениях бесконечно малых используется техника окрестностей — открытых подмножеств $ \mathbb R $ (Гейне), которые естественным образом обобщены в общей топологии (абстрагирующей понятие открытого множества).

В нестандартном анализе Робинсона (1960-е годы) бесконечно малые вводятся как вид обобщённых чисел, не превосходящих $ 1/n $ для любого $ n \in \mathbb N $, класс всех таких чисел актуализируется «монадой нуля» $ \mu (0) $Шаблон:Sfn.

Математический анализ

В математическом анализе, созданном на фундаменте исчисления бесконечно малыхШаблон:Переход, вводится явно и абстракция бесконечно больших величин: ко множеству действительных чисел добавляются два символа $ +\infty $ и $ -\infty $ (строится расширенная числовая прямая $ \overline{\mathbb{R}} = \{ -\infty\} \cup \mathbb{R} \cup \{ +\infty\} $), применяющиеся для определения граничных значений и сходимости, в анализе с этими символами хотя и возможно оперировать (здесь $ \alpha $ — действительное число):

$ \pm \infty + \alpha = \pm \infty $,

$ \pm \infty \cdot 1 = \pm \infty $,

$ \pm \infty \cdot -1 = \mp \infty $,

$ \pm \infty \cdot \alpha = \operatorname{sgn}\alpha \cdot \pm{\infty} \, (\alpha \ne 0) $,

$ \pm \infty \big / \alpha = \operatorname{sgn}\alpha \cdot \pm \infty \, (\alpha \ne 0) $,

$ \alpha\big / \pm \infty = 0 \, (\alpha \ne \pm \infty) $,

однако с некоторыми ограничениями: при возникновении неопределенных ситуаций (всего их 7)

$ (\infty-\infty), \ \left (\frac{\infty}{\infty} \right ), \ \left (\frac{0}{0} \right ), \ \left (~0^0 \right ), \ \left (1^\infty \right ), \ \left (\infty^0 \right ), \ (0\cdot\infty) $

применяются правила раскрытия неопределённостей (например, правило Лопиталя) по принципу выяснения содержания предельного выражения, приведшего к появлению бесконечности, то есть, в этом смысле в анализе символы $ \pm \infty $ используются как обобщённое сокращение для записи предельных выражений, но не как полноценный объект.

В нестандартном анализе Робинсона бесконечно большие и бесконечно малые величины актуализируются с привлечением теоретико-модельных средств, причём выразительные средства и методы доказательств благодаря этому в нестандартном анализе во многих случаях выигрывают перед классическими, и получен ряд новых результатов, которые могли бы быть получены и в классическом анализе, но не были обнаружены из-за недостатка наглядности^[8].

Проективная геометрия

Файл:Real projective line.svg

Важным в актуализации представлений о бесконечности в математике стало создание Понселе в 1822 году проективной геометрии, одной из ключевых идей которой является сворачивание при проектировании бесконечно удалённого в «идеальные точки» и «идеальные прямые». Так, чтобы превратить бесконечную плоскость в евклидовом пространстве $ \mathbb R^2 $ в проективную плоскость $ \mathbb{R}P^2 $ необходимо для каждого класса параллельных прямых добавить Шаблон:Нп5, и все эти идеальные точки (и только они) сворачиваются в Шаблон:Нп5. Действительная проективная прямая в этих построениях — расширение числовой прямой идеальной точкой ($ \mathbb{R}P^1 = \mathbb{R} \cup \{ \infty \} $).

Так же, как и в анализеШаблон:Переход, с полученной бесконечностью в проективной геометрии можно оперировать (в проективной геометрии, в отличие от анализа, бесконечность не имеет знака, $ \alpha \in \mathbb R $):

$ \infty \pm \alpha = \infty $,

$ \infty \cdot \alpha = \infty, \, \alpha \ne 0 $,

$ \infty \cdot \infty = \infty $,

$ \alpha \big / \infty = 0 $,

$ \infty \big / \alpha = \infty $,

$ \alpha \big / 0 = \infty, \, \alpha \ne 0 $,

но при этом выражения $ \infty + \infty, \, \infty — \infty, \, \infty \cdot 0, \, \infty / \infty, \, 0 / 0 $ не определены.

Файл:Riemann sphere.png

Создавая геометрическую интерпретацию комплексных чисел, Риман в 1851 году воспользовался средствами проективной геометрии, и для комплексной плоскости $ \mathbb C $ построил проективное пространство $ \mathbb C P^1 $ — комплексное обобщение числовой проективной прямой, известное как сфера Римана: полюсы сферы — точки $ 0 $ и $ \infty $, а стереографическая проекция (с выколотой точкой $ \infty $) переводит её в комплексную плоскость. В отличие от вещественного анализа, где используется бесконечность со знаком, в комплексном анализе используется именно проективная форма бесконечности ($ \mathbb C \cup \{\infty\} $).

Теория множеств

Основной вклад в представление о бесконечности в математике внесён теорией множеств: идея актуальной бесконечности и разных сортов бесконечности занимают существенную часть этой теории.

Для измерения разных видов бесконечности в теории множеств вводится понятие мощности (кардинального числа), совпадающее с количеством элементов для конечных множеств, а для бесконечных множеств задействующее принцип биекции: если между множествами возможно установить взаимно-однозначное соответствие, то они равномощны. Так, оказывается, что множество натуральных чисел $ \N $ равномощно множествам целых чисел ($ \Z $), чётных натуральных чисел, всех рациональных чисел ($ \Q $), а отрезок числовой прямой ($ \mathbb I = [0,1] $, континуумШаблон:Переход) оказывается в биективном соответствии со всей числовой прямой ($ \R $), а также с $ n $-мерным евклидовым пространством ($ \R^n $). Мощность множества натуральных чисел и равномощных ему (счётных множеств)Шаблон:Переход обозначается $ \aleph_0 $, а мощность континуума — $ \mathfrak c $. Далее, установлено, что между множеством всех подмножеств натуральных чисел ($ 2^\N $) и континуумом есть взаимно-однозначное соответствие, таким образом, $ \mathfrak c = 2^{\aleph_0} $, и что счётное множество — наименьшее по мощности из всех бесконечных множеств. Согласно континуум-гипотезе, между $ \aleph_0 $ и $ \mathfrak c $ нет промежуточных мощностей ($ \mathfrak c = \aleph_1 $), притом, как показал Коэн в 1962 году, ни она, ни её отрицание недоказуемы в основных аксиоматиках теории множеств. Обобщённая континуум-гипотеза предполагает, что все кардинальные числа подчиняются соотношению $ 2^{\aleph_\alpha}=\aleph_{\alpha+1} $, иными словами, все возможные бесконечные кардинальные числа в точности представляют мощности последовательного взятия булеана от множества натуральных чисел: $ \#\N, \# \mathcal P (\N), \# \mathcal P (\mathcal P (\N)), \dots $^[9].

Файл:Omega-exp-omega-labeled.svg

Другой вид бесконечностей, введённый теорией множеств — порядковые числа (ординалы), наряду со связанным с ними принципом трансфинитной индукции они вызвали наибольшие дискуссии в среде математиков, логиков и философов. Если кардинальные числа характеризуют класс эквивалентности относительно взаимно-однозначного соответствия, то порядковое число возникает как характеристика класса эквивалентности над вполне упорядоченными множествами, относительно биективных соответствий, сохраняющих отношение полного порядка. Для конечных множеств ординал и кардинал совпадают, но для бесконечных множеств это не всегда так, все множества одного порядкового числа равномощны, но обратное, в общем случае, неверно. Конструируются ординалы таким образом, чтобы последовательно продолжить натуральный ряд за пределы бесконечности^[10]:

$ 0 = \varnothing $,

$ 1 = \varnothing \cup \{0\} = \{\varnothing \} $,

…

$ n+1 = n \cup \{n\} $,

после чего, рассмотрев множество всех конечных порядковых чисел как $ \omega $, вводится Шаблон:Нп5 на базе операций сложения упорядоченных множеств (введением порядка над раздельным объединением последовательно по элементам первого слагаемого множества, потом второго) и произведения (над декартовым произведением вполне упорядоченных множеств с использованием лексикографического порядка), и продолжается процесс:

$ \omega + 1 = \omega \cup \{ \omega \} $,

$ \omega + 2 = (\omega + 1) \cup \{ \omega + 1 \} $,

…

$ \omega \cdot 2 = \omega + \omega $,

$ \omega \cdot 2 + 1 $,

…

Далее строится $ \omega ^2 = \omega \cdot \omega $, далее — $ \omega ^3, \dots, \omega ^\omega, \dots, \omega^{\omega^\omega}, \cdots, $, далее — Шаблон:Нп5:

$ \varepsilon_0 = \omega^{\omega^{\omega^{\cdot^{\cdot^\cdot}}}} = \sup \{ \omega, \omega^{\omega}, \omega^{\omega^{\omega}}, \omega^{\omega^{\omega^\omega}}, \dots \} $.

Доказано, что множество всех счётных ординалов (всех $ \omega $ и $ \varepsilon $) обладает мощностью $ \aleph_1 $ — следующей за мощностью счётного множества $ \aleph_0 $, далее строятся ординалы высших порядков. Трансфинитная индукция — обобщение принципа математической индукции, позволяющий доказывать утверждения относительно любого вполне упорядоченного множества с использованием идеи порядковых чисел. Парадокс Бурали-Форти показывает, что множество всех порядковых чисел противоречиво, но во многих аксиоматизациях теории множеств построение такого множества запрещено.

Бесконечномерные пространства

Шаблон:Раздел не написан

Фрактальная геометрия

Шаблон:Main

Файл:Mandelbrot sequence new.gif

Шаблон:Раздел не написан

В программировании

Шаблон:Main

Стандартная арифметика с плавающей запятой (IEEE 754-2008) содержит особые значения для +∞ и −∞ : порядок состоит из одних единиц (11…11), мантисса из одних нулей (00…00). Положительная бесконечность больше любого конечного числа, отрицательная — меньше любого. Операции с бесконечностью определяются особо: (+∞) + x = +∞, +∞ + (+∞) = +∞, +∞ − ∞ = NaN, log (+∞) = +∞, sin (+∞) = NaN, и т. д.

В логике

Апории Зенона

Апории Зенона — серия апорий, относимых к Зенону Элейскому (вторая половина V века до н. э.) и дошедших в основном в изложении Аристотеля, будучи одними из первых примеров логических сложностей в оперировании с бесконечными объектами (хотя, прежде всего, с проблемами дискретного и непрерывного). Сформулированы апории таким образом, что многие из них являются предметом дискуссий и интерпретаций в течение всего времени существования логики, включая современность^[11] и считаются первой постановкой проблемы использования бесконечности в научном контексте^[12]. В апории «Ахиллес и черепаха» демонстрируется трудность суммирования убывающих бесконечно малых величин, притом эта антиномия не так проста, как иногда интерпретируется: как отмечают Гильберт и Бернайс в «Основаниях математики», для разрешения парадокса необходимо актуализировать бесконечную последовательность событий таким образом, чтобы принять её всё-таки завершаемой^[13]. «Дихотомия», хотя может быть разрешена представлением о пределе сходящейся последовательности $ 1/2 + 1/4 + 1/8 + \dots $, но для неё Вейль предлагает современную интерпретацию: если вычислительная машина сконструирована таким образом, чтобы выполнять первую операцию за 0,5 мин, вторую — за 0,25 мин, третью — за 0,125 мин и так далее, то за минуту она могла бы пересчитать весь натуральный рядШаблон:Sfn.

Парадоксы теории множеств

Шаблон:Main
Шаблон:Раздел не написан

В философии

Древнеиндийская философия

В джайнистском трактате Шаблон:Не переведено 2, относимом к 400-м годам до н. э., все величины разделены на три категории и три подкатегории — перечислимые (малые, средние и большие), неперечислимые («почти неперечислимые», «истинно неперечислимые» и «неперечислимо неперечислимые») и бесконечные («почти бесконечные», «истинно бесконечные» и «бесконечно бесконечные»)^[14], это разделение было по-видимому первой попыткой не просто различить виды бесконечного, но и измерить соотношение между ними, а идея выделять подкатегории бесконечных величин и упорядочивать их близка к концепции трансфинитных чиселШаблон:Переход Кантора.

Древнегреческая философия

У древнегреческих философов бесконечное обычно фигурирует как нечто неоформленное, несовершенное, близкое к хаосу или даже с ним отождествляемоеШаблон:Sfn, так, в пифагорейском списке противоположностей бесконечность отнесена к стороне зла. Среди древнегреческих философов, позитивно использующих категорию бесконечного выделяются Анаксимандр, вводящий космологическое начало как бесконечное вместилище — апейрон (Шаблон:Lang-gr), и атомисты (Демокрит, Левкипп), согласно которым существует бесконечное число миров, образованных из бесконечного числа атомов, содержащихся в бесконечном пустом пространствеШаблон:Sfn. При этом атомистская концепция оппонировала континуалистскому подходу, в котором пространство и время считались бесконечно делимыми, тогда как у атомистов постулировались первичные неделимые элементы, а апории ЗенонаШаблон:Переход были призваны показать логическую несостоятельность обоих подходовШаблон:Sfn.

Но господствующим мнением в древнегреческой философии было отрицание актуальной бесконечности, наиболее характерное отражение этих воззрений представлено у Аристотеля в «Физике», где он отказывает в бесконечности космосу, бесконечности последовательности причин, говоря о возможности бесконечного прироста натурального ряда и бесконечности деления отрезка на малые составляющие только как о потенциальной бесконечностиШаблон:Переход. Аристотелю же принадлежит классификация бесконечности на экстенсивную — возникающую при неограниченном добавлении предметов в совокупность, и интенсивную — появляющуюся при неограниченном углублении в строение объектаШаблон:Sfn
На позициях отрицания актуальной бесконечности и оперирования только с потенциальной бесконечностью стоят и античные геометры, в частности, у Евклида в «Началах» второй постулат утверждает возможность произвольно долго продолжать прямую, но сами прямые и плоскости рассматриваются как конечные, хоть и почти неограниченно «большие»Шаблон:Sfn.

В работах неоплатоников, прежде всего, у Плотина, в связи с проникновением представлений восточной мистики и во многом под влиянием работ Филона Александрийского, давшего эллинистическую интерпретацию христианского Бога, формируется представление об актуальной бесконечности Ума как бесконечно могущественного и единого, и потенциальной бесконечности безграничной материиШаблон:Sfn.

Европейская средневековая философия

В раннехристианской и раннесредневековой философии (Ориген, Августин, Альберт Великий, Фома Аквинский) унаследовано от Аристотеля отрицание актуальной бесконечности в мире, при признании в том или ином виде за христианским Богом актуально бесконечногоШаблон:Sfn.

В трудах схоластов XIII—XIV веков (Уильяма из Шервуда, Хейтсбери, Григория из Римини) явно обозначается различие между понятиями потенциальной и актуальной бесконечности (в ранних сочинениях потенциальную и актуальную бесконечность называют синкатегорематической и категорематической бесконечностями соответственно), но сохраняется отношение к актуально бесконечному как божественномуШаблон:Sfn, либо постулируется полное отрицание актуальной бесконечности (Шаблон:Lang-la). Однако уже Оккам обращает внимание на возможность признания существования континуума и его частей как актуально существующих при сохранении за ними свойств бесконечного — возможности бесконечного деления на составляющие части^[15], а Суайнсхед в подтверждение своим рассуждениям о бесконечной делимости континуума математически доказывает утверждение о сумме бесконечного числового рядаШаблон:Переход^[16]. Орем, развивая построения Суайнсхеда, выстраивает систему геометрических доказательств сходимости бесконечных рядов, строит пример плоской фигуры, бесконечной по протяжённости, но с конечной площадью^[4].

В XV веке Николай Кузанский создаёт учение об «абсолютном максимуме», который он считает бесконечной мерой всех конечных вещей, тем самым давая представление, совершенно не совпадающее с античным: всё конечное рассматривается как ограничение актуально существующей божественной бесконечности (Шаблон:Lang-la), в противоположность господствовавшему представлению о существовании конечных вещей и потенциальности бесконечногоШаблон:Sfn.

Философия Нового времени

Представления Николая Кузанского развиты у Спинозы, согласно которому вещи получают своё бытие внутри бесконечной божественной субстанции посредством самоопределения через отрицаниеШаблон:Sfn. От этих представлений идёт и признание в XVI—XVII веках идеи о бесконечности Вселенной, которые утвердились благодаря гелиоцентрической системе Коперника, просветительской работе Бруно, исследованиям Кеплера и ГалилеяШаблон:SfnШаблон:Sfn. Кеплер и Галилей начинают использовать методы бесконечного в математической практике, так, Кеплер, опираясь на идеи Николая Кузанского, аппроксимирует окружность правильным многоугольником со стремящимся к бесконечности числом сторонШаблон:Sfn, а Галилей, обращая внимание на соответствии между числами и их квадратами, отмечает невозможность применения тезиса «целое больше части» к бесконечным объектамШаблон:Sfn.

Значительная роль в представлении о природе непрерывного и сущности континуума привнесена учеником Галилея Кавальери, который в трактате «Геометрия, изложенная новым способом при помощи неделимых непрерывного» (1635) рассматривал плоские фигуры как бесконечные множества заполняющих их отрезков, а объёмные тела — как состоящие из бесконечного числа параллельных плоских фигур, используя такие метафоры: линия состоит из точек также, как и ожерелье из жемчужин, плоская фигура из линий, также как и ткань из нитей, тело из плоскостей — как книга из страниц; с использованием этого «метода неделимых» Кавальери получил значительные математические результатыШаблон:Sfn.

Декарт невозможность познания Бога из бытия сотворённого им мира аргументирует несоизмеримостью конечного и актуально бесконечного, непостижимость которого, по его представлению, заключена уже в самом формальном определении бесконечности^[17]. Соответственно, подлинно бесконечным Декарт признаёт лишь всемогущего Бога, а такие проявления бесконечности, как «бесконечность человеческой воли», считает проявлениями божественного образа в существе человекаШаблон:Sfn.

Наиболее последовательным сторонником существования актуальной бесконечности был Лейбниц, в «Монадологии» он последовательно проводит идею бесконечности монад в универсуме, в каждой его части, выраженной в форме материи, обуславливая устойчивость этих частей законом предопределённой гармонии и особыми принципами подчинения монад, при этом рассматривая и монады, в свою очередь, как бесконечный в пространстве и времени универсумШаблон:Sfn. Эти представления Лейбница нашли отражение в его фундаментальных трудах по исчислению бесконечно малых, представляя инфинитезимали как монадыШаблон:Переход. Созданное Ньютоном и Лейбницем дифференциальное исчисление, явно актуализировавшее инфинитезимали, вызвало широкую и длительную дискуссию среди философов XVII—XVIII веков, наиболее последовательным противником методов, использующих бесконечно малые величины был Беркли, эти дискуссии получили отражение в культуре в фабулах «Путешествий Гулливера» Свифта и «Микромегаса» ВольтераШаблон:Sfn.

Кант в «Критике чистого разума» отказывает в возможности рассмотрения как бесконечных чисел, так и бесконечных величин; на основе анализа антиномий чистого разума Кант характеризует мир ни как конечный, ни как бесконечный, а как «неопределённый»Шаблон:Sfn.

Гегель развивает идею теснейшей связи, почти тождества, бесконечного и абсолютного^[18], особо рассматривает «дурную бесконечность» как отрицание конечного и как диалектическое преодоление антагонизма вводит «истинную бесконечность»; истинно бесконечен по Гегелю только Абсолютный духШаблон:Sfn. В философии диалектического материализма подчёркивается представление о бесконечном, как о диалектическом процессе^[19][20], само понятие бесконечного в ней имеет различные смыслы: простейшая, практическая бесконечность; бесконечность, как абсолютность, всеобщность, завершенность; бесконечность интеллектуального мира; реальная бесконечность. Бесконечность пространства и времени Энгельс рассматривает как пример «дурной бесконечности».

Наиболее значительным трудом XIX века о бесконечности, в большей степени философскимШаблон:Sfn, чем математическим стала монография Больцано Шаблон:Нп5 (опубликована в 1851 году, уже после смерти автора)Шаблон:Sfn, в ней систематически изучаются бесконечные множества чисел, приводятся логические и математические доводы в пользу рассмотрения актуальной бесконечности и предлагается инструментарий для исследования родов бесконечности с использованием понятия взаимно-однозначного соответствияШаблон:Sfn.

На идейной основе работы Больцано и создана в конце XIX века в трудах Кантора со значительным участием Дедекинда теория множествШаблон:Переход (сам термин «множество» — Шаблон:Lang-de, в качестве обозначения актуально бесконечного объекта впервые использован у Больцано), именно в теории множеств впервые мотивированно рассмотрено соотношение разных видов бесконечного, в частности, средствами понятия о мощности установлено соотношение между количеством элементов натурального ряда (счётного множества, $ \aleph_0 $ в обозначениях Кантора) и количеством точек континуума ($ \mathfrak{c} = 2^{\aleph_0} $), сформулирован принцип трансфинитной индукции. Кантор при этом пытался дать и философское обоснование своих построений, вводя в дополнение к трансфинитным числам, постижимым сознанием ещё и непостижимое «бесконечное в Боге»Шаблон:Sfn. Особую роль в осознании бесконечного в рамках работ по созданию теории множеств сыграло определение бесконечного множества в книге Дедекинда «Что такое числа и для чего они служат?»^[21] как как взаимно-однозначное с частью себя, тогда как все предыдущие определения бесконечного носили негативный характер^[22]. К концу XIX века (прежде всего, благодаря организованной серии докладов на Первом международном конгрессе математиков в 1897 году) теория множеств получила всеобщее признание математиков, но в среде теологов и философов относительно идей об актуальной бесконечности и количественных различиях её видов развернулась серьёзная дискуссия^[22].

Современная философия

В философии XX века основное содержание исследований вопросов, связанных с бесконечностью, тесно стыкуется с основаниями математики, и прежде всего, проблемами теории множествШаблон:Sfn.

Рассел, в системе которую он строит совместно с Уайтхедом в Principia Mathematica в преодоление парадоксов теории множествШаблон:Переход, постулирует существование бесконечности посредством введения аксиомы бесконечности, притом отказывает в возможности выведения бесконечности из других априорных понятий, не считает выводимым понятие бесконечности сугубо аналитически из принципа недопущения противоречий. Также Рассел не считает возможным изыскать апостериорное обоснование бесконечности, основываясь на здравом смысле и опыте, особо отмечая, что нет никаких оснований веры в бесконечность пространства, бесконечность времени или бесконечную делимость предметов. Таким образом, бесконечность по Расселу — гипотетический императив, которым в разных системах можно пользоваться или нет, но который невозможно обосновать или опровергнуть^[23].

Реализуя программу по преодолению парадоксов теории множеств, Гильберт и Бернайс сформировали принципы современного финитизма, согласно которым утверждения о свойствах, сформулированных для всех элементов бесконечной совокупности возможны только при условии их воспроизводимости для каждого конкретного элемента, при этом, не ограничивая возможные абстракции бесконечного, в том числе, и трансфинитную индукцию. Витгенштейн, наиболее радикально развивший концепцию финитизма в аналитической философии, считал возможным рассматривать бесконечное только как запись рекурсивного процесса и принципиально отвергал возможность рассмотрения разных классов бесконечности^[24].

В школах, исходящих из неокантианства и феноменологии также исследовались вопросы бесконечного, так, Кассирер в дискуссии с Хайдеггером («Давосская дискуссия», 1929) вводит имманентную бесконечность, возникающую как объективизация сферы переживаний^[25], в 1950-е — 1960-е годы программные работы, посвящённые бесконечному, написаны Койре и Левинасом^[26].

Индукция

Индукция — классический логический метод, позволяющий перейти от частных утверждений ко всеобщим, в том числе, относительно бесконечного множества объектов. Индукция относительно натурального ряда без какой-либо формализации отмечается ещё у Прокла и Евклида, тогда как осознание её как метода математической индукции относят к Паскалю и Герсониду^[27]. В современных обозначениях математическая индукция заключается в силлогизме:

$ P(1), \forall n\in \mathbb N (P(n) \rightarrow P(n+1)) \vdash \forall n \in \mathbb N (P(n)) $,

то есть, выводе свойства $ P $ для всего множества натуральных чисел из факта его выполнения для единицы и выводимости для каждого последующего числа на основании выполнения свойства для предыдущего.

Метод математической индукции считается надёжным, но распространить его можно только на счётные вполне упорядоченные множества. Попыткой распространить индукцию на произвольные вполне упорядоченные множества было создание метода

ru.indubhushan-das.wikia.com

Бесконечность Википедия

Бесконечность — категория человеческого мышления, используемая для характеристики безграничных, беспредельных, неисчерпаемых предметов и явлений, для которых невозможно указание границ или количественной меры^[1]. Используется в противоположность конечному, исчисляемому, имеющему предел. Систематически исследуется в математике^[⇨], логике^[⇨] и философии^[⇨], также изучаются вопросы о восприятии, статусе и природе бесконечности в психологии, теологии, физике^[⇨] соответственно.

Исторически первые проблемы бесконечности — вопросы конечности пространства и времени, количества вещей в мире, более сложные проблемы — возможность бесконечного деления континуума^[⇨], возможность оперирования с бесконечными объектами (проблема актуальной бесконечности^[⇨]), природа и поведение бесконечно малых величин — инфинитезималей^[⇨], наличие различных типов бесконечности и соотношение между ними^[1]. Наиболее глубокое исследование бесконечности предпринято в математической теории множеств^[⇨], в которой построено несколько систем измерений различных видов бесконечных объектов, однако без дополнительных искусственных ограничений такие построения вызывают многочисленные парадоксы^[⇨], пути их преодоления, статус теоретико-множественных построений, их обобщений и альтернатив являются основным направлением исследований бесконечности у философов современности^[⇨].

ru-wiki.ru

Бесконечность — Википедия

Бесконечность — категория человеческого мышления, используемая для характеристики безграничных, беспредельных, неисчерпаемых предметов и явлений, для которых невозможно указание границ или количественной меры^[1]. Используется в противоположность конечному, исчисляемому, имеющему предел. Систематически исследуется в математике^[⇨], логике^[⇨] и философии^[⇨], также изучаются вопросы о восприятии, статусе и природе бесконечности в психологии, теологии, физике^[⇨] соответственно.

Исторически первые проблемы бесконечности — вопросы конечности пространства и времени, количества вещей в мире, более сложные проблемы — возможность бесконечного деления континуума^[⇨], возможность оперирования с бесконечными объектами (проблема актуальной бесконечности^[⇨]), природа и поведение бесконечно малых величин — инфинитезималей^[⇨], наличие различных типов бесконечности и соотношение между ними^[1]. Наиболее глубокое исследование бесконечности предпринято в математической теории множеств^[⇨], в которой построено несколько систем измерений различных видов бесконечных объектов, однако без дополнительных искусственных ограничений такие построения вызывают многочисленные парадоксы^[⇨], пути их преодоления, статус теоретико-множественных построений, их обобщений и альтернатив являются основным направлением исследований бесконечности у философов современности^[⇨].

Основные понятия

Потенциальная и актуальная бесконечность

Бесконечность может рассматриваться как неограниченность некоторого процесса, например, когда во втором постулате Евклида утверждается возможность продолжить бесконечно и непрерывно любую прямую, то имеется в виду, что процесс можно непрерывно продолжать, но существование такого самостоятельного объекта, как бесконечная прямая, из него не следует. Такого рода процессы и совокупности объектов, их описывающие, характеризуют как потенциальную бесконечность (в схоластике используется термин «синкатегорематическая бесконечность»), потенциально бесконечное не подразумевает целостных бесконечных предметов и явлений, в каждой фазе бесконечного процесса рассматриваются лишь конечные сущности, то есть является лишь частичным отрицанием конечного^[1].

Альтернативой является понятие актуальной бесконечности (в схоластике — «категорематическая бесконечность»), которая означает рассмотрение конечно неизмеримых объектов как данность, как реально существующих, но при этом как единых и целостных, с которыми возможно оперировать^[1]. В таком ключе актуально бесконечное — как прямое и полное отрицание конечного — используют мистики для характеризации различных божественных категорий, математики современности оперируют с актуально бесконечными множествами^[⇨] и актуально бесконечномерными пространствами^[⇨]. Представления о допустимости и содержании актуальной бесконечности в философии, теологии, логике, математике, естествознании существенно менялись на протяжении всего времени рассмотрения вопроса.

Качественная и количественная бесконечность

Качественная бесконечность — категория, определяющая всеобщий, неиссякаемый, универсальный характер связей объектов и явлений^[2], как качественно бесконечные рассматриваются в различные времена в различных философских школах такие категории, как Абсолют, Космос, Бог, Ум и другие.

Количественная бесконечность характеризует процессы и объекты, измерение которых невозможно конечными величинами, с количественной бесконечностью оперируют математики, изучая, например, свойства бесконечных рядов, бесконечномерные пространства, множества из бесконечного количества элементов; в логике и философии исследуются возможности и ограничения такой работы с количественной бесконечностью.

Континуум

Континуум (лат. continuum) — форма бесконечности, относящаяся к идее о непрерывности, целостности объектов в смысле возможности бесконечного их разделения на составные части и потенциальной бесконечности этого процесса. Континуальность противопоставляется дискретности, прерывистости, наличию неделимых (атомарных) составляющих. Континуумом представляются отрезки числовой оси (континуум в теории множеств), определённый вид ограниченных и отделимых пространств, в некотором смысле сходных с отрезками числовой оси (континуум в топологии), на основе исследования свойств бесконечной делимости континуума в математике сформировано понятие непрерывности. Вопросы об онтологической природе континуума, статусе континуума в естествознании нашли отражение во многих трудах философов, начиная со времён античности^[3].

Инфинитезималь

Инфинитезимали — бесконечно малые величины, фигурирующие в потенциально бесконечных процессах, характеризующихся последовательным убыванием величин, в частности, при разделении континуума на составные части, в убывающих числовых последовательностях, иногда — в представлении об атомарной структуре мироздания или сознания. Математическое описание инфинитезималей, созданное Ньютоном и Лейбницем в исчислении бесконечно малых^[⇨], стало базисом математического анализа.^[4]

Видео по теме

В математике

Теория чисел

Одним из основных источников ранних представлений о бесконечности были натуральные числа и потенциальная бесконечность натурального ряда. Одним из первых нетривиальных результатов о бесконечности в теории чисел считается доказательство от противного бесконечности множества простых чисел в «Началах» Евклида^[5]: если предположить конечность множества простых чисел, то число, равное сумме единицы и произведения всех чисел из этого множества, не делится ни на одно из них, но при этом или само является простым, или делится на некоторое простое число, не входящее в исходное множество; и то, и другое противоречит исходной посылке. Теоретико-числовое суждение о бесконечности представляет парадокс Галилея: каждому числу может быть сопоставлен его квадрат, то есть, квадратов не меньше, чем всех чисел, но при этом не из каждого числа можно извлечь корень, то есть, квадраты — только часть множества всех чисел^[6].

В теории чисел не требуется применение какой-либо абстракции актуальной бесконечности, тем не менее, многие её задачи связаны с формулировкой условий бесконечности, например, по состоянию на 2013 год являются открытыми проблемами вопросы о бесконечности множества простых чисел, по модулю которых заданное целое число является первообразным корнем (гипотеза Артина), бесконечности множества простых чисел-близнецов, бесконечности для всякого чётного числа множества пар соседних простых чисел, разность между которыми равна ему (гипотеза Полиньяка), бесконечности множества совершенных чисел.

Бесконечные ряды

Парабола Архимеда

Первое свидетельство применения бесконечного ряда обнаруживается у Архимеда в «Квадратуре параболы», где для доказательства утверждения о соотношении 4:3 площадей сегмента, заключённого между прямой и параболой, и треугольника, имеющего с ним то же основание и равную высоту, он суммирует бесконечный ряд:

∑n=0∞14n=1+141+142+143+⋯=43{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{4^{n}}}=1+{\frac {1}{4^{1}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{4^{3}}}+\cdots ={4 \over 3}},

и затем перепроверяет результат методом от противного^[7].

В 1340-е годы Суайнсхед впервые находит сумму бесконечного ряда, не являющегося простой убывающей геометрической прогрессией:

∑n=1∞n2n=12+222+323+424+⋯=2{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n}{2^{n}}}={\frac {1}{2}}+{\frac {2}{2^{2}}}+{\frac {3}{2^{3}}}+{\frac {4}{2^{4}}}+\cdots =2}.

Также в XIV веке с бесконечными рядами работает Орем, используя ясные геометрические доказательства, он получает суммы достаточно нетривиальных числовых рядов, находит (без доказательства) формулу суммы бесконечной геометрической прогрессии и доказывает расходимость гармонического ряда^[7].

В XVI веке, используя результаты Орема, Томаш^[de] находит суммы некоторых бесконечных прогрессий, образованных сложными законами^[7]. В Индии в XV веке были получены разложения тригонометрических функций в бесконечные степенные ряды^[7], наиболее значительный вклад внёс Мадхава из Сангамаграмы^[8].

Менголи в трактате, опубликованном в 1650 году устанавливает ряд важных свойств рядов, вводит понятие остатка ряда, тем самым неявно рассматривая ряды как целостные объекты, а также доказывает расходимость обобщённого гармонического ряда^[9]. Меркатор в 1668 году открывает разложение логарифмической функции в степенной ряд^[10], а в 1667 году Грегори — разложения тригонометрических функций, и, наконец, Тейлор, обобщая результаты Меркатора, Грегори, а также Ньютона, в 1715 году показывает возможность разложить в бесконечный ряд любую аналитическую функцию в заданной точке, тем самым установив возможность представления значений обширного класса функций бесконечными суммами.

Исчисление бесконечно малых

Хотя метод исчерпывания, известный со времён античности, и метод неделимых, сформулированный Кавальери в 1635 году, в той или иной мере используют сведение к бесконечно малым величинам, первые попытки алгебраизации операций с бесконечно малыми были сделаны Валлисом, Барроу и Грегори в середине XVII века, в явном виде математическая абстракция инфинитезималей была создана в 1680-е годы практически одновременно Ньютоном в его «методе флюксий» (бесконечно малых приращений) и Лейбницем (определившим дифференциал)^[4].

Строгие определения бесконечно малых с использованием понятий предела, сходимости и непрерывности даны в XIX веке Коши и Вейерштрассом, наиболее традиционной в этих определениях стала так называемая (ε,δ){\displaystyle (\varepsilon ,\delta )}-формулировка^[en] (например, α{\displaystyle \alpha } считается пределом по Коши функции f{\displaystyle f} в точке x0{\displaystyle x_{0}}, если для любого ε>0{\displaystyle \varepsilon >0} найдётся δ>0{\displaystyle \delta >0}, что при любых x{\displaystyle x}, удовлетворяющих условию 0<|x−x0|<δ{\displaystyle 0<\left|x-x_{0}\right|<\delta }, выполнено |f(x)−α|<ε{\displaystyle \left|f\left(x\right)-\alpha \right|<\varepsilon }). В более поздних определениях бесконечно малых используется техника окрестностей — открытых подмножеств R{\displaystyle \mathbb {R} } (Гейне), которые естественным образом обобщены в общей топологии (абстрагирующей понятие открытого множества).

В нестандартном анализе Робинсона (1960-е годы) бесконечно малые вводятся как вид обобщённых чисел, не превосходящих 1/n{\displaystyle 1/n} для любого n∈N{\displaystyle n\in \mathbb {N} }, класс всех таких чисел актуализируется «монадой нуля» μ(0){\displaystyle \mu (0)}^[11].

Математический анализ

В математическом анализе, созданном на фундаменте исчисления бесконечно малых^[⇨], вводится явно и абстракция бесконечно больших величин: ко множеству действительных чисел добавляются символы бесконечно удалённых точек +∞{\displaystyle +\infty } и −∞{\displaystyle -\infty } (строится расширенная числовая прямая R¯={−∞}∪R∪{+∞}{\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}=\{-\infty \}\cup \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}), применяющиеся для определения граничных значений и сходимости. С символами возможно оперировать (здесь α{\displaystyle \alpha } — действительное число):

±∞+α=±∞{\displaystyle \pm \infty +\alpha =\pm \infty },

±∞⋅1=±∞{\displaystyle \pm \infty \cdot 1=\pm \infty },

±∞⋅−1=∓∞{\displaystyle \pm \infty \cdot -1=\mp \infty },

±∞⋅α=sgn⁡α⋅±∞(α≠0){\displaystyle \pm \infty \cdot \alpha =\operatorname {sgn} \alpha \cdot \pm {\infty }\,(\alpha \neq 0)},

±∞/α=sgn⁡α⋅±∞(α≠0){\displaystyle \pm \infty {\big /}\alpha =\operatorname {sgn} \alpha \cdot \pm \infty \,(\alpha \neq 0)},

α/±∞=0(α≠±∞){\displaystyle \alpha {\big /}\pm \infty =0\,(\alpha \neq \pm \infty )},

однако с некоторыми ограничениями: при возникновении неопределенных ситуаций (всего их 7)

(∞−∞), (∞∞), (00), ( 00), (1∞), (∞0), (0⋅∞){\displaystyle (\infty -\infty ),\ \left({\frac {\infty }{\infty }}\right),\ \left({\frac {0}{0}}\right),\ \left(~0^{0}\right),\ \left(1^{\infty }\right),\ \left(\infty ^{0}\right),\ (0\cdot \infty )}

применяются правила раскрытия неопределённостей (например, правило Лопиталя) по принципу выяснения содержания предельного выражения, приведшего к появлению бесконечности, то есть, в этом смысле в анализе символы ±∞{\displaystyle \pm \infty } используются как обобщённое сокращение для записи предельных выражений, но не как полноценный объект (в некоторых дидактических материалах используется одна бесконечно удалённая точка ±∞{\displaystyle \pm \infty }, не связанная соотношением порядка с действительными числами^[12]).

В нестандартном анализе Робинсона бесконечно большие и бесконечно малые величины актуализируются с привлечением теоретико-модельных средств, причём выразительные средства и методы доказательств благодаря этому в нестандартном анализе во многих случаях выигрывают перед классическими, и получен ряд новых результатов, которые могли бы быть получены и в классическом анализе, но не были обнаружены из-за недостатка наглядности^[13].

Проективная геометрия



Важным в актуализации представлений о бесконечности в математике стало создание Понселе в 1822 году проективной геометрии, одной из ключевых идей которой является сворачивание при проектировании бесконечно удалённого в «идеальные точки» и «идеальные прямые». Так, чтобы превратить бесконечную плоскость в евклидовом пространстве R2{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} в проективную плоскость RP2{\displaystyle \mathbb {R} P^{2}} необходимо для каждого класса параллельных прямых добавить идеальную точку, и все эти идеальные точки (и только они) сворачиваются в идеальную прямую^[en]. Действительная проективная прямая в этих построениях — расширение числовой прямой идеальной точкой (RP1=R∪{∞}{\displaystyle \mathbb {R} P^{1}=\mathbb {R} \cup \{\infty \}}).

Так же, как и в анализе^[⇨], с полученной бесконечностью в проективной геометрии можно оперировать (в проективной геометрии, в отличие от анализа, бесконечность не имеет знака, α∈R{\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }):

∞±α=∞{\displaystyle \infty \pm \alpha =\infty },

∞⋅α=∞,α≠0{\displaystyle \infty \cdot \alpha =\infty ,\,\alpha \neq 0},

∞⋅∞=∞{\displaystyle \infty \cdot \infty =\infty },

α/∞=0{\displaystyle \alpha {\big /}\infty =0},

∞/α=∞{\displaystyle \infty {\big /}\alpha =\infty },

α/0=∞,α≠0{\displaystyle \alpha {\big /}0=\infty ,\,\alpha \neq 0},

но при этом выражения ∞+∞,∞−∞,∞⋅0,∞/∞,0/0{\displaystyle \infty +\infty ,\,\infty -\infty ,\,\infty \cdot 0,\,\infty /\infty ,\,0/0} не определены.

Создавая геометрическую интерпретацию комплексных чисел, Риман в 1851 году воспользовался средствами проективной геометрии, и для комплексной плоскости C{\displaystyle \mathbb {C} } построил проективное пространство CP1{\displaystyle \mathbb {C} P^{1}} — комплексное обобщение числовой проективной прямой, известное как сфера Римана: полюсы сферы — точки 0{\displaystyle 0} и ∞{\displaystyle \infty }, а стереографическая проекция (с выколотой точкой ∞{\displaystyle \infty }) переводит её в комплексную плоскость. В отличие от вещественного анализа, где используется бесконечность со знаком, в комплексном анализе используется именно проективная форма бесконечности (C∪{∞}{\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \}}).

Теория множеств

Основной вклад в представление о бесконечности в математике внесён теорией множеств: идея актуальной бесконечности и разных сортов бесконечности занимают существенную часть этой теории.

Для измерения разных видов бесконечности в теории множеств вводится понятие мощности (кардинального числа), совпадающее с количеством элементов для конечных множеств, а для бесконечных множеств задействующее принцип биекции: если между множествами возможно установить взаимно-однозначное соответствие, то они равномощны. Так, оказывается, что множество натуральных чисел N{\displaystyle \mathbb {N} } равномощно множествам целых чисел (Z{\displaystyle \mathbb {Z} }), чётных натуральных чисел, всех рациональных чисел (Q{\displaystyle \mathbb {Q} }), а отрезок числовой прямой (I=[0,1]{\displaystyle \mathbb {I} =[0,1]}, континуум^[⇨]) оказывается в биективном соответствии со всей числовой прямой (R{\displaystyle \mathbb {R} }), а также с n{\displaystyle n}-мерным евклидовым пространством (Rn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}). Мощность множества натуральных чисел и равномощных ему (счётных множеств)^[⇨] обозначается ℵ0{\displaystyle \aleph _{0}}, а мощность континуума — c{\displaystyle {\mathfrak {c}}}. Далее, установлено, что между множеством всех подмножеств натуральных чисел (2N{\displaystyle 2^{\mathbb {N} }}) и континуумом есть взаимно-однозначное соответствие, таким образом, c=2ℵ0{\displaystyle {\mathfrak {c}}=2^{\aleph _{0}}}, и что счётное множество — наименьшее по мощности из всех бесконечных множеств. Согласно континуум-гипотезе, между ℵ0{\displaystyle \aleph _{0}} и c{\displaystyle {\mathfrak {c}}} нет промежуточных мощностей (c=ℵ1{\displaystyle {\mathfrak {c}}=\aleph _{1}}), притом, как показал Коэн в 1962 году, ни она, ни её отрицание недоказуемы в основных аксиоматиках теории множеств. Обобщённая континуум-гипотеза предполагает, что все кардинальные числа подчиняются соотношению 2ℵα=ℵα+1{\displaystyle 2^{\aleph _{\alpha }}=\aleph _{\alpha +1}}, иными словами, все возможные бесконечные кардинальные числа в точности представляют мощности последовательного взятия булеана от множества натуральных чисел: #N,#P(N),#P(P(N)),…{\displaystyle \#\mathbb {N} ,\#{\mathcal {P}}(\mathbb {N} ),\#{\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\mathbb {N} )),\dots }^[14].

Представление порядковых чисел до ωω{\displaystyle \omega ^{\omega }}: каждый виток спирали — степень ω{\displaystyle \omega }

Другой вид бесконечностей, введённый теорией множеств — порядковые числа (ординалы), наряду со связанным с ними принципом трансфинитной индукции они вызвали наибольшие дискуссии в среде математиков, логиков и философов. Если кардинальные числа характеризуют класс эквивалентности относительно взаимно-однозначного соответствия, то порядковое число возникает как характеристика класса эквивалентности над вполне упорядоченными множествами, относительно биективных соответствий, сохраняющих отношение полного порядка. Для конечных множеств ординал и кардинал совпадают, но для бесконечных множеств это не всегда так, все множества одного порядкового числа равномощны, но обратное, в общем случае, неверно. Конструируются ординалы таким образом, чтобы последовательно продолжить натуральный ряд за пределы бесконечности^[15]:

0=∅{\displaystyle 0=\varnothing },

1=∅∪{0}={∅}{\displaystyle 1=\varnothing \cup \{0\}=\{\varnothing \}},

…

n+1=n∪{n}{\displaystyle n+1=n\cup \{n\}},

после чего, рассмотрев множество всех конечных порядковых чисел как ω{\displaystyle \omega }, вводится арифметика порядковых чисел на базе операций сложения упорядоченных множеств (введением порядка над раздельным объединением последовательно по элементам первого слагаемого множества, потом второго) и произведения (над декартовым произведением вполне упорядоченных множеств с использованием лексикографического порядка), и продолжается процесс:

ω+1=ω∪{ω}{\displaystyle \omega +1=\omega \cup \{\omega \}},

ω+2=(ω+1)∪{ω+1}{\displaystyle \omega +2=(\omega +1)\cup \{\omega +1\}},

…

ω⋅2=ω+ω{\displaystyle \omega \cdot 2=\omega +\omega },

ω⋅2+1{\displaystyle \omega \cdot 2+1},

…

Далее строится ω2=ω⋅ω{\displaystyle \omega ^{2}=\omega \cdot \omega }, далее — ω3,…,ωω,…,ωωω,⋯,{\displaystyle \omega ^{3},\dots ,\omega ^{\omega },\dots ,\omega ^{\omega ^{\omega }},\cdots ,}, далее —

wiki2.red

7.Правила лопиталя для раскрытия неопределённостей вида 0/0 и бесконечность/бесконечность. Раскрытие неопределённостей вида 0*бесконечность, бесконечность-бесконечность, 1бесконечность, 00

Правило Лопиталя-пусть
функция f(x)
и g(x)
имеют производные в окрестности точки
х_о тогда:
1)если lim
f(x)=
lim
g(x)=бесконечность,
то limf(x)/g(x)=(бесконечность/бесконечность)=
lim
f’(x)/g’(x),
при условии что последний предел
существует. 2)если lim
f(x)=lim
g(x)=0,
то lim
f(x)/g(x)=
(0/0)=
lim
f’(x)/g’(x),
при условии что последний существует.

Следовательно если
мы имеем неопределённости
бесконечность/бесконечность, 0/0,
воспользоваться правилом Лопиталя
означает найти производные числителя
и знаменателя, а затем вычислить новый
предел.

Пример
lim sin4x/x=(0/0)=lim(sin4x)’/x= lim4cos4x/1=4*cos0=4*1=4

3)0*бесконечность,
пусть f
стремиться к 0, g
стремиться к бесконечности, тогда fg=f/
(1/g)=
(0/0)=g/(1/f)=
(бесконечность/бесконечность), т.е. мы
свели данную неопределённость к 0/0 или
бесконечность/бесконечность, после
чего можно применять правило Лопиталя

4)бесконечность-бесконечность
. Пусть f
стремиться к бесконечности, g
стремиться к бесконечности, тогда
f-g=1/(1/f)-
1/(1/g)=(1/g)-(1/f)/(1/f)*(1/g)=(0/0)

5)1^{бесконечность},0⁰,
бесконечность⁰.
Данные неопределённости также сводятся
к неопределённостям бесконечность/бесконечность
или 0/0 . для этого можно воспользоваться
формулой f^g=e^infg=eglnf,
f>0.
Так, если f
стремиться к 1, g
стремиться к бесконечности, то получаем
неопределённость 0*бесконечность (так
как ln1=0),
после чего можно получить
бесконечность/бесконечность или 0/0

8.Дифференциал функции.Связь дифференциала и производной.Использование дифференциала в приближенных вычислениях.

Функция f(x)
называется дифференцируемой в точке
х₀,
если ее приращение в этой точке можно
представить в виде дельта
y=f(x₀+дельтаx)-f(x₀)=A*дельтаx+a(дельтаx)

Для того чтобы
функция f(x)
была дифференцируемой в точке х₀,
необходимо и достаточно, чтобы в точке
х₀
существовала произвлдная f’(x)=A.

F(x₀+дельтаx)-f(х₀)=f’(x₀)*дельтаx+a(дельтах)

Функция f’(x₀)*дельтаx
есть главная линейная часть приращения
функции f(x)
в точке х₀.Эту
главную линейную часть приращения
функции f(x)
и называется дифференциалом функции
f(x)
в точке х₀ и
обозначают df(x₀)=f’(x₀)*дельтаХ,
в частности для f(x)=x
имеем df=dx=1*дельтаХ=дельтаХ,
следовательно df(x₀)=f’(x₀)dx

Для дифференциалов
функций f
и g
справедливы формулы, подобные формулам
для производных функций:

1)d(f+g)=df+dg

2)d(f*g)=g*df+f*dg

3)d(f/g)=(gdf-fdg)/g²

Данные формулы будут
широко применяться при вычислении
интегралов функций. С помощью дифференциала
можно также приближенно вычислить
значения функции f
для ч, близких к x₀,
Так как отбросив бесконечно малую
функцию в формуле 2, получаем:
f(x₀+дельтаХ)=f(x₀)+f’(x₀)дельтаХ

9.Исследование на монотонность функции одной переменной. Точки экстремума. Необходимые и достаточные условия существования экстремума.

Пусть задана функция
y=f(x)
на множестве Х и х₀-внутренняя
точка множества Х.

Обозначим через
U(x₀)
окрестность точки х₀.В
точке х₀
функция f(x)
имеет локальный максимум, если существует
такая окрестность U(x₀)
точки х₀,
что для всех х из этой окрестности
выполнено условие f(x)<=f(x₀).

Точки локальных
максимума и минимума называются точки
локальных экстремумов, а значения
функции в них-локальными экстремумами
функции.Пусть функция f(x)
определена на отрезке[a,b]
и имеет локальный экстремум на каком0то
из концов этого отрезка.Тогда такой
экстремум называется локальным
односторонним или краевым экстремумом.
В этом случае соответствующая окрестность
является правой для точки а и левой для
точки b
полуокрестностью.

Критическими
точками , т.е.
точки подозрительные на экстремум
функции на интервале [a,b]
, являются точки,в которых производная
существует и равна 0 либо она не существует
или равна бесконечности.

Первое достаточное
условие экстремума-пусть
непрерывная функция диффиринцируема
в некоторой проколотой окрестности
U(x₀)
точки х₀,
тогда: 1)если f’(x)>0
при х<x_0,
х принадлежит
U(х₀)
и f’(x)<0
при х>x₀,
x
принадлежит U(x₀),
то в точке х₀-локальный
максимум

2)если
f’(x)<0
при x<x₀
х принадлежит U(x₀)
и f’(x)>0при
x>x₀
x
принадлежит U(x₀),
то в точке х₀
локальный минимум.

Функция называется
n
раз непрерывно-дифференцируемой на
некотором промежутке, если на этом
промежутке она имеет непрерывные
производные до порядка n
включительно (n=0,1,2,….)

Второе достаточное
условие экстремума- пусть
функция f(x)
дважды непрерывно-дифференцируема.
Если х₀-стационарная
точка (f’(x₀)=0)
в которой f’’(x₀)>0,
то в точке х₀
функция имеет локальный минимум. Если
же f’’(x₀)<
0 то в точке х₀
функция имеет локальный максимум.

studfiles.net

Добавить комментарий Отменить ответ

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Комментарий *

Имя *

Email *

Сайт