Виды бесконечностей: Виды бесконечностей и вынос мозга / Хабр

«Что больше? Бесконечность или две бесконечности?» – Яндекс.Кью

В современной математике нет определения бесконечности. Есть символ ∞, который читается «бесконечность», но обозначают этим символом разное. Поэтому ответ зависит от того, что подразумевается под этим словом.

Когда-то в XVIII, XIX веках с бесконечностью обращались вольнее, но со временем математики выяснили, что вольное обращение приводит к парадоксам. Поэтому словоупотребление и символы оставили, а смыслы уточнили. Сейчас, когда математики говорят «бесконечность», они подразумевают понятия, которые строго определяются без этого слова.

Прежде чем рассматривать бесконечность-другую, надо уточнять, что именно имеется в виду.

Например, мы привыкли к пределам «при n, стремящемся к бесконечности». Но эти слова не означают, что существует какая-то бесконечность. Они означают длинное условие (для любого ε>0 существует такое N, что для всех n>N…) и подразумевают замысловатую абстрактную конструкцию.

Одно из распространенных пониманий бесконечности — обозначение мощности бесконечного множества. Возьмем четные натуральные числа 2, 4, 6, 8… и нечетные 1, 3, 5, 7, … Каких больше? Эти множества равномощны, ведь мы можем установить соответствие как на картинке:

Для каждого нечетного числа укажем четное и наоборот; в этом смысле четных и нечетных чисел «поровну». Это «поровну» не означает равное количество, ведь и тех и других бесконечно много.

Возьмем да и объединим четные числа с нечетными в одно множество — получатся натуральные числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …

Если бы объединяли конечные множества, скажем, в одном 3 элемента, в другом 4, то в общей кучке количество элементов — это сумма 3+4, или 7. Поэтому может показаться, что когда объединили бесконечно много четных чисел и бесконечно много нечетных, то получится две бесконечности.

На самом деле не получится, хотя это и противоречит нашей интуиции. Натуральных чисел ровно «столько же», сколько четных, ведь мы можем опять построить соответствие:

Здесь каждому натуральному числу соответствует четное и наоборот. Значит, множества натуральных чисел и четных равномощны.

Мы объединили два разных бесконечных множества и получили одно, равномощное им. В этом смысле две бесконечности не больше одной; но это был лишь маленький пример. Есть много других пониманий бесконечности, сложения бесконечностей или сравнения бесконечностей.

как сложить все натуральные числа и получить -1/12?

Вопрос ученому: — Я слышал, что сумма всех натуральных чисел равна −1/12. Это какой-то фокус, или это правда?

Ответ пресс-службы МФТИ — Да, такой результат можно получить при помощи приема, называемого разложением функции в ряд.

Вопрос, заданный читателем, достаточно сложный, и потому мы отвечаем на него не обычным для рубрики «Вопрос ученому» текстом на несколько абзацев, а некоторым сильно упрощенным подобием математической статьи.

В научных статьях по математике, где требуется доказать некоторую сложную теорему, рассказ разбивается на несколько частей, и в них могут поочередно доказываться разные вспомогательные утверждения. Мы предполагаем, что читатели знакомы с курсом математики в пределах девяти классов, поэтому заранее просим прощения у тех, кому рассказ покажется слишком простым — выпускники могут сразу обратиться к http://en.wikipedia.org/wiki/Ramanujan_summation.

Сумма всего

Начнем с разговора о том, как можно сложить все натуральные числа. Натуральные числа — это числа, которые используются для счета цельных предметов — они все целые и неотрицательные. Именно натуральные числа учат дети в первую очередь: 1, 2, 3 и так далее. Сумма всех натуральных чисел будет выражением вида 1+2+3+… = и так до бесконечности.

Ряд натуральных чисел бесконечен, это легко доказать: ведь к сколь угодно большому числу всегда можно прибавить единицу. Или даже умножить это число само на себя, а то и вычислить его факториал — понятно, что получится еще большая величина, которая тоже будет натуральным числом.

Детально все операции с бесконечно большими величинами разбираются в курсе математического анализа, но сейчас для того, чтобы нас поняли еще не сдавшие данный курс, мы несколько упростим суть. Скажем, что бесконечность, к которой прибавили единицу, бесконечность, которую возвели в квадрат или факториал от бесконечности — это все тоже бесконечность. Можно считать, что бесконечность — это такой особый математический объект.

И по всем правилам математического анализа в рамках первого семестра сумма 1+2+3+…+бесконечность — тоже бесконечна. Это легко понять из предыдущего абзаца: если к бесконечности что-то прибавить, она все равно будет бесконечностью.

Однако в 1913 году блестящий индийский математик-самоучка Сриниваса Рамануджан Айенгор придумал способ сложить натуральные числа несколько иным образом. Несмотря на то, что Рамануджан не получал специального образования, его знания не были ограничены сегодняшним школьным курсом — математик знал про существование формулы Эйлера-Маклорена. Так как она играет важную роль в дальнейшем повествовании, о ней придется тоже рассказать подробнее.

Формула Эйлера-Маклорена

Для начала запишем эту формулу:

Как можно видеть, она достаточно сложна. Часть читателей может пропустить этот раздел целиком, часть может прочитать соответствующие учебники или хотя бы статью в Википедии, а для оставшихся мы дадим краткий комментарий. Ключевую роль в формуле играет произвольная функция f(x), которая может быть почти чем угодно, лишь бы у нее нашлось достаточное число производных. Для тех, кто не знаком с этим математическим понятием (и все же решился прочитать написанное тут!), скажем еще проще — график функции не должен быть линией, которая резко ломается в какой-либо точке.

Производная функции, если предельно упростить ее смысл, является величиной, которая показывает то, насколько быстро растет или убывает функция. С геометрической точки зрения производная есть тангенс угла наклона касательной к графику.

Слева в формуле стоит сумма вида «значение f(x) в точке m + значение f(x) в точке m+1 + значение f(x) в точке m+2 и так до точки m+n». При этом числа m и n — натуральные, это надо подчеркнуть особо.

Справа же мы видим несколько слагаемых, и они кажутся весьма громоздкими. Первое (заканчивается на dx) — это интеграл функции от точки m до точки n. Рискуя навлечь на себя гнев всей кафедры математики за примитивность подхода к интегралам, скажем, что это площадь под кривой f(x) на графике от m до n; интегралы очень широко используются в самых разных науках.

На графике «по горизонтальной оси — время, по вертикальной — скорость» интеграл, то есть площадь под кривой, будет равен пройденному пути. На графике «ежемесячные платежи по вертикали, по горизонтали время» интегралом будет сумма, пришедшая на счет за все время.

Второе слагаемое, обозначенное как B₁(f(n) + f(m)), — это так называемое число Бернулли.

Третье слагаемое — сумма от чисел Бернулли (B_2k), поделенных на факториал удвоенного значения числа k и умноженных на разность производных функции f(x) в точках n и m. Причем, что еще сильнее усложняет дело, тут не просто производная, а производная 2k-1 порядка. То есть все третье слагаемое выглядит так:

Число Бернулли B₂ («2» так как в формуле стоит 2k, и мы начинаем складывать с k=1) делим на факториал 2 (это пока просто двойка) и умножаем на разность производных первого порядка (2k-1 при k=1) функции f(x) в точках n и m

+

Число Бернулли B₄ («4» так как в формуле стоит 2k, а k теперь равно 2) делим на факториал 4 (1×2х3×4=24) и умножаем на разность производных третьего порядка (2k-1 при k=2) функции f(x) в точках n и m

+

Число Бернулли B₆ (см.выше) делим на факториал 6 (1×2х3×4х5×6=720) и умножаем на разность производных пятого порядка (2k-1 при k=3) функции f(x) в точках n и m

+

…

Суммирование продолжается вплоть до k=p. Числа k и p получаются некоторыми произвольными величинами, которые мы можем выбирать по-разному, вместе с m и n — натуральными числами, которыми ограничен рассматриваемый нами участок с функцией f(x). То есть в формуле целых четыре параметра, и это вкупе с произвольностью функции f(x) открывает большой простор для исследований.

Оставшееся скромное R, увы, тут не константа, а тоже довольно громоздкая конструкция, выражаемая через уже упомянутые выше числа Бернулли. Теперь самое время пояснить, что это такое, откуда взялось и почему вообще математики стали рассматривать столь сложные выражения.

Числа Бернулли и разложения в ряд

В математическом анализе есть такое ключевое понятие как разложение в ряд. Это значит, что можно взять какую-то функцию и написать ее не напрямую (например y = sin(x^2) + 1/ln(x) + 3x), а в виде бесконечной суммы множества однотипных слагаемых. Например, многие функции можно представить как сумму степенных функций, умноженных на некоторые коэффициенты — то есть сложной формы график сведется к комбинации линейной, квадратичной, кубической… и так далее — кривых.

В теории обработки электрических сигналов огромную роль играет так называемый ряд Фурье — любую кривую можно разложить в ряд из синусов и косинусов разного периода; такое разложение необходимо для преобразования сигнала с микрофона в последовательность нулей и единиц внутри, скажем, электронной схемы мобильного телефона. Разложения в ряд также позволяют рассматривать неэлементарные функции, а ряд важнейших физических уравнений при решении дает именно выражения в виде ряда, а не в виде какой-то конечной комбинации функций.

В XVII столетии математики стали вплотную заниматься теорией рядов. Несколько позже это позволило физикам эффективно рассчитывать процессы нагрева различных объектов и решать еще множество иных задач, которые мы здесь рассматривать не будем.6 + … например) и получил числа, при помощи которых можно разложить в упомянутый выше степенной ряд другие функции — например, tg(x). Хотя, казалось бы, тангенс не очень-то похож хоть на параболу, хоть на какую угодно степенную функцию!

Полиномы Бернулли позже нашли свое применение не только в уравнениях матфизики, но и в теории вероятностей. Это, в общем-то, предсказуемо (ведь ряд физических процессов — вроде броуновского движения или распада ядер — как раз и обусловлен разного рода случайностями), но все равно заслуживает отдельного упоминания.

-1/12

Громоздкая формула Эйлера-Маклорена использовалась математиками для разных целей. Так как в ней, с одной стороны, стоит сумма значений функций в определенных точках, а с другой — есть и интегралы, и разложения в ряд, при помощи этой формулы можно (в зависимости от того, что нам известно) как взять сложный интеграл, так и определить сумму ряда.

Сриниваса Рамануджан придумал этой формуле иное применение. Он ее немного модифицировал и получил такое выражение:

В качестве функции f(x) он рассмотрел просто x — пусть f(x) = x, это вполне правомерное допущение. Но для этой функции первая производная равна просто единице, а вторая и все последующие — нулю: если все аккуратно подставить в указанное выше выражение и определить соответствующие числа Бернулли, то как раз и получится −1/12.

Это, разумеется, было воспринято самим индийским математиком как нечто из ряда вон выходящее. Поскольку он был не просто самоучкой, а талантливым самоучкой, он не стал всем рассказывать про поправшее основы математики открытие, а вместо этого написал письмо Годфри Харди, признанному эксперту в области как теории чисел, так и математического анализа. Письмо, кстати, содержало приписку, что Харди, вероятно, захочет указать автору на ближайшую психиатрическую лечебницу: однако итогом, конечно, стала не лечебница, а совместная работа.

Парадокс

Суммируя все сказанное выше, получим следующее: сумма всех натуральных чисел получается равной −1/12 при использовании специальной формулы, которая позволяет разложить произвольную функцию в некоторый ряд с коэффициентами, называемыми числами Бернулли. Однако это не значит, что 1+2+3+4 оказывается больше, чем 1+2+3+… и так до бесконечности. В данном случае мы имеем дело с парадоксом, который обусловлен тем, что разложение в ряд — это своего рода приближение и упрощение.

Можно привести пример намного более простого и наглядного математического парадокса, связанного с выражением чего-то одного через что-то другое. Возьмем лист бумаги в клеточку и нарисуем ступенчатую линию с шириной и высотой ступеньки в одну клетку. Длина такой линии, очевидно, равна удвоенному числу клеток — а вот длина спрямляющей «лесенку» диагонали равна числу клеток, умноженному на корень из двух. Если сделать лесенку очень мелкой, она все равно будет той же длины и практически не отличимая от диагонали ломаная линия окажется в корень из двух раз больше той самой диагонали! Как видите, для парадоксальных примеров писать длинные сложные формулы вовсе не обязательно.

Формула Эйлера-Маклорена, если не вдаваться в дебри математического анализа, является таким же приближением, как и ломаная линия вместо прямой.120 степени раз. Это одна из нерешенных задач современной физики; тут явно просвечивает пробел в наших знаниях о Вселенной. Или же проблема — в отсутствии подходящих математических методов для описания окружающего мира. Физики-теоретики совместно с математиками пытаются найти такие способы описать физические процессы, при которых не будет возникать расходящихся (уходящих в бесконечность) рядов, но это далеко не самая простая задача.

Руководство по межтабличным связям — Access

Одной из целей создания хорошей структуры базы данных является устранение избыточности (повторения) данных. Для этого нужно распределить данные по нескольким отдельным тематически организованным таблицам, чтобы каждый факт был представлен один раз. В приложении Access будет предоставлен способ сбора разбросанных данных — это делается путем помещения общих полей в связанные таблицы. Чтобы корректно выполнить это действие, нужно понять взаимосвязи между таблицами и описать эти взаимосвязи в базе данных.

В этой статье

Введение

После создания таблицы для каждой темы в базе данных нужно предоставить приложению Accessсредства, с помощью которых можно будет при необходимости объединять сведения. Это делается путем создания общих полей в связанных таблицах и настройки связей между таблицами. После этого можно создавать запросы, формы и отчеты, одновременно отображающие сведения из нескольких таблиц. Например, приведенная ниже форма содержит сведения из нескольких таблиц:

1. Эта форма содержит данные из таблицы клиентов,

2. заказов,

3. товаров

4. и сведений о заказах.

Имя клиента в поле Плательщик получено из таблицы «Клиенты», значения кода заказа и даты заказа — из таблицы «Заказы», наименование товара — из таблицы «Товары», а цена и количество — из таблицы «Заказано». Чтобы можно было передать данные в форму, эти таблицы связаны друг с другом несколькими способами.

В приведенном примере поля в таблицах должны быть согласованы таким образом, чтобы отображать сведения об одном и том же заказе. Это согласование осуществляется путем установления связей между таблицами. Связь между таблицами устанавливает отношения между значениями в ключевых полях — часто между полями, имеющими одинаковые имена в обеих таблицах. В большинстве случаев с первичным ключом одной таблицы, являющимся уникальным идентификатором каждой записи, связывается внешний ключ другой таблицы. Например, для связывания сотрудников с заказами, за которые они отвечают, можно создать связь между полями «Код сотрудника» в таблицах «Сотрудники» и «Заказы».

1. Поле «Код сотрудника» отображается в двух таблицах: как первичный ключ…

2. и как внешний ключ.

К началу страницы

Типы связей между таблицами

В Access есть три типа связей между таблицами.

• Связь «один-ко-многим»

  Рассмотрим базу данных, в которой учитываются заказы, включающую таблицы «Клиенты» и «Заказы» в качестве примера. Клиент может разместить любое количество заказов. Следовательно, у любого клиента, представленного в таблице «Клиенты», может быть много заказов, представленных в таблице «Заказы». Поэтому связь между таблицами «Клиенты» и «Заказы» — это отношение «один-ко-многим».

  Чтобы создать отношение «один-ко-многим» в структуре базы данных, добавьте первичный ключ на стороне «один» в таблицу на стороне «многие» в виде дополнительного поля или полей. В данном примере необходимо добавить новое поле — поле «Код» из таблицы «Клиенты» — в таблицу «Заказы» и назвать его «Код клиента». После этого Access сможет использовать номер «Код клиента» из таблицы «Заказы» для поиска клиента каждого заказа.

• Связь «многие-ко-многим»

  Рассмотрим связь между таблицами «Товары» и «Заказы». Отдельный заказ может включать несколько товаров. С другой стороны, один товар может входить в несколько заказов. Таким образом, для каждой записи в таблице «Заказы» может существовать несколько записей в таблицы «Товары». Таким образом, для каждой записи в таблице «Заказы» может существовать несколько записей в таблице «Заказы». Эта связь называется отношением «многие-ко-многим». Обратите внимание, что для определения существующей схемы отношений «многие ко многим» между вашими таблицами, очень важно рассматривать обе стороны отношений.

  Чтобы представить связь «многие-ко-многим», нужно создать третью (связующую) таблицу, в которой она разбивается на две связи «один-ко-многим». Первичные ключи двух таблиц вставляются в третью таблицу. В результате в третьей таблице сохраняются все экземпляры связи. Например, таблицы «Заказы» и «Продукты» имеют связь «многие-ко-многим», определяемую путем создания двух связей «один-ко-многим» в таблице «Заказано». В одном заказе может быть много продуктов, и каждый продукт может быть указан во многих заказах.

• Связь «один-к-одному»

  При отношении «один-к-одному» каждая запись в первой таблице может иметь не более одной связанной записи во второй таблице, и наоборот. Отношения этого типа используются нечасто, поскольку обычно сведения, связанные таким образом, хранятся в одной таблице. Отношение «один-к-одному» используется для разделения таблицы, содержащей много полей, с целью отделения части таблицы по соображениям безопасности, а также с целью сохранения сведений, относящихся к подмножеству записей в главной таблице. После определения такого отношения у обеих таблиц должно быть общее поле.

К началу страницы

Зачем создавать связи между таблицами?

Связи между таблицами можно создать непосредственно с помощью окна «Схема данных» или путем перетаскивания поля из области Список полей. Access использует связи между таблицами для того, чтобы решить, как связать таблицы для использования их в объекте базы данных. Существует несколько причин для создания связей между таблицами перед созданием других объектов базы данных (форм, запросов, отчетов).

• Связи между таблицами предоставляют сведения для структурирования запросов

  Для работы с записями из нескольких таблиц часто приходится создавать запросы, соединяющие таблицы. Запрос сопоставляет значения в поле первичного ключа первой таблицы с полем внешнего ключа второй таблицы. Например, чтобы получить строки, в которых перечисляются все заказы для каждого из клиентов, можно создать запрос, соединяющий таблицу «Клиенты» с таблицей «Заказы» на основе поля «Код клиента». В окне «Схема данных» можно вручную указать поля для соединения. Но если связь между таблицами уже существует, Access использует соединение по умолчанию на основе существующей связи между таблицами. Кроме того, при использовании одного из мастеров запросов Access использует сведения об уже определенных связях между таблицами, чтобы предоставить пользователю выбор и подставить в параметры свойств соответствующие значения по умолчанию.

• Связи между таблицами предоставляют сведения для структурирования форм и отчетов

  При создании формы или отчета в Access используются сведения об уже определенных межтабличных связях, чтобы предоставить пользователю выбор и предварительно заполнить параметры свойств соответствующими значениями по умолчанию.

• Связи между таблицами — это та основа, с помощью которой можно обеспечить целостность данных, чтобы в базе данных не было потерянных записей. Потерянная запись — это запись со ссылкой на несуществующую запись (например, запись заказа со ссылкой на отсутствующую запись клиента).

  При создании базы данных сведения распределяются по таблицам, в каждой из которых есть первичный ключ. После этого к связанным таблицам добавляются внешние ключи, имеющие ссылки на первичные ключи. Эти пары из внешнего и первичного ключей формируют основу для связей между таблицами и многотабличных запросов. Поэтому важно, чтобы ссылки «внешний ключ — первичный ключ» оставались синхронизированными. Целостность данных, которая зависит от связей в таблице, гарантирует, что ссылки остаются синхронизированными.

К началу страницы

Понятие о целостности данных

При создании базы данных сведения распределяются по множеству тематически организованных таблиц, чтобы свести к минимуму избыточность данных. После этого в Access предоставляются средства сбора разбросанных данных путем создания в связанных таблицах общих полей. Например, чтобы создать связь «один-ко-многим», добавьте первичный ключ из таблицы на стороне «один» как дополнительное поле в таблицу на стороне «многие». Чтобы соединить данные, Access подставляет значение из таблицы на стороне «многие» в соответствующее поле таблицы на стороне «один». Таким образом, значения таблицы на стороне «многие» связаны с соответствующими значениями на стороне «один».

Предположим, между таблицами «Грузоотправители» и «Заказы» существует связь «один-ко-многим», и нужно удалить грузоотправителя. Если у грузоотправителя, которого нужно удалить, есть заказы в таблице «Заказы, они станут потерянными записями после удаления записи грузоотправителя. В таблице «Заказы» останется код грузоотправителя, но он будет недействителен, поскольку запись, на которую он ссылается, уже не существует.

Задача сохранения целостности данных состоит в предотвращении появления потерянных записей и поддержании ссылок в синхронизированном состоянии, чтобы описанная выше гипотетическая ситуация никогда не возникла.

Обеспечение целостности данных включается для конкретного отношения между таблицами. После активации, Access будет отклонять любые операции, нарушающие целостность данных для этой межтабличной связи. Это означает, что Access будет отклонять как любые обновления, изменяющие целевой объект ссылки, так и удаление такого целевого объекта. Возможно, у вас может быть полностью допустимая потребность в изменении первичного ключа для поставщика, у которого есть заказы в таблице «Заказы». В этом случае необходимо, чтобы Access выполнил автоматическое обновление всех задействованных строк в рамках одной операции. Таким образом, Access гарантирует, что обновление будет полностью завершено, а база данных не будет находиться в несогласованном состоянии, когда некоторые строки обновлены, а другие — нет. Для этого в Access имеется параметр Каскадное удаление связанных записей. Если при включении обеспечения целостности данных был включен параметр Каскадное удаление связанных полей, то при последующем обновлении первичного ключа Access автоматически обновляет все связанные с ним поля.

Может понадобиться удалить строку и все связанные записи — например, запись грузоотправителя и все связанные с ним заказы. Для этого в Access имеется параметр Каскадное удаление связанных записей. Если при обеспечении целостности данных выбрать параметр Каскадное удаление связанных записей, а затем удалить запись на стороне первичного ключа в отношении, Access автоматически удалит все записи со ссылкой на первичный ключ.

К началу страницы

Просмотр связей между таблицами

Чтобы просмотреть межтабличные связи, щелкните Схема данных на вкладке Работа с базами данных. Откроется окно «Схема данных», в котором будут отображены все существующие связи. Если связи еще не были определены или это окно открывается впервые, приложение Access предложит добавить в окно таблицу или запрос.

Вызов окна «Схема данных»

1. Щелкните «Файл»,выберите«Открыть», а затем выберите и откройте базу данных.

2. На вкладке Работа с базами данных в группе Отношения нажмите кнопку Схема данных.

3. На вкладке Конструктор в группе Связи нажмите кнопку Все связи.

   Будут отображены все связи, определенные в базе данных. Обратите внимание на то, что скрытые таблицы (таблицы, для которых установлен флажок скрытый в диалоговом окне Свойства) и их отношения не отображаются, если в диалоговом окне Параметры переходов не выбран параметр Показывать скрытые объекты.

Связь между таблицами представляется как линия между таблицами в окне «Схема данных». Связь, не обеспечивающая целостность данных, отображается как тонкая линия между общими полями, поддерживающими связь. Если выбрать связь, щелкнув линию, то линия станет жирной. Если обеспечить целостность данных для этой связи, линия станет толще на концах. Кроме того, над жирной частью линии с одной стороны связи будет отображаться цифра 1, а с другой стороны — символ бесконечности (∞).

Когда открыто окно «Схема данных», на ленте доступны указанные ниже команды.

На вкладке Конструктор в группе Сервис

• 
  Изменить связи   . Открывает диалоговое окно Изменение связей . При выборе линии связи можно щелкнуть элемент Изменить связи, чтобы изменить связь между таблицами. Можно также дважды щелкнуть линию связи.

• 
  Очистить макет   . Запрещает отображение всех таблиц и связей в окне «Схема данных». Имейте в виду, что эта команда только скрывает таблицы и связи, но не удаляет их.

• 
  Отчет о связях   . Создает отчет, отображающий таблицы и связи базы данных. В отчете отображаются только таблицы и связи, не скрытые в окне «Схема данных».

На вкладке Конструктор в группе Отношения

• 
  Добавление таблиц (добавление таблицы в Access 2013    Позволяет показывать в окне «Отношения» выбор таблиц.

• 
  Скрыть таблицу   . Скрывает выбранную таблицу в окне «Схема данных».

• 
  Прямые связи   . Отображает все связи и связанные таблицы для выбранной таблицы в окне «Схема данных», если они еще не отображены.

• 
  Все связи   . Отображает все связи и связанные таблицы базы данных в окне «Схема данных». Имейте в виду, что скрытые таблицы (таблицы, для которых установлен флажок Скрытый в диалоговом окне Свойства) и их связи не будут отображены, если не установлен флажок «Показывать скрытые объекты» в диалоговом окне «Параметры переходов».

• 
  Закрыть   . Закрывает окно «Схема данных». Если в макет окна «Схема данных» были внесены какие-либо изменения, будет предложено сохранить их.

К началу страницы

Советы по выбору когтеточки для кошки

Кошки – удивительные домашние животные! Своим появлением они приносят в дом много радости и положительных эмоций. Чтобы питомец правильно развивался и не доставлял лишних проблем владельцу, ему понадобятся некоторые аксессуары. Помимо лотка, посуды для кормления и игрушек, специалисты рекомендуют сразу купить когтеточку. Она предназначена для стачивания отрастающих когтей.

Обтачивая когти о специальную поверхность, кошка снимает злость, устраняется стресс, беспокойство, а так же помечают территорию своим запахом (ферамонами). Этот процесс полезен для мускулатуры и позвоночника животного, что равносильно физическим упражнениям.

Когтеточка в доме исключает порчу имущества. Коты любят точить острые коготки о ковры, стены, мягкую мебель. Если приучать питомца к специальному приспособлению с первых дней, переживать за целостность обивки дивана или обоев на стенах уже не придется.

Виды когтеточек

Итак, если вы уже определили необходимость приобретения данного аксессуара для домашней любимицы, предлагаем рассмотреть виды конструкций, что поможет определить, какая когтеточка для кошек лучше и удобней.

В ассортименте зоомаркета большой выбор когтеточек разных видов, форм и цветовых решений. Одни выполняют исключительно основное предназначение, другие могут стать для вашего питомца уютным домиком или увлекательным игровым центром, где он сможет комфортно проводить свой досуг.

Популярные модели:

• столбики;
• плоские;
• домики;
• комплексы.

Подбирать когтеточку нужно по разным параметрам: удобная форма для установки в доме, устойчивость конструкции, качество материала, дизайн с учетом интерьера комнаты и, конечно, цена. В первую очередь нужно изучить особенности модельного ряда, чтобы точно определить, какую когтеточку лучше купить для кошки.

Когтеточки-столбики

Одни из самых популярных моделей. Предполагают напольную установку. Имеют плоское основание и высокий столбик для натачивания когтей. Оптимальная высота – 1 м. Стационарная конструкция не занимает лишнего пространства в доме. Качественные модели с надежной опорой имеют тяжелый вес, обеспечивающий устойчивость.

Виды столбиков для обтачивания когтей:

конструкция напольного типа с круглым основанием и столбиком, обтянутым прочной сизалевой веревкой;

• с полкой;
• с креплением к стене;
• декоративные модели в виде пальмы, животных и других фигур;
• с дополнительными комплексами для развлечений.

Для маленьких котиков лучше покупать устойчивую модель с полками и игровыми комплексами. Взрослым кошкам, уже редко проявляющим игровой азарт, можно выбрать обычную модель без излишеств или с удобной полкой для лежания.

Плоские когтеточки

Классические плоские установки имеют множество преимуществ. Они размещаются на полу, устойчивы, легко переносятся, не занимают лишнего пространства. В каталоге зоомаркета большой выбор плоских когтеточек для маленьких котиков и взрослых питомцев.

Сеть зоомаркетов «ЛеМуррр» предлагает установки для обтачивания кошачьих коготков самых разнообразных форм и расцветок: классические лежаки в виде коврика, дизайнерские с имитацией животных или фигур, в форме волны, конструкции с различными аксессуарами и игрушками. Цены на весь модельный ряд доступные.

Когтеточки-комплексы

Самые удобные для домашних животных – когтеточки-комплексы. Они создаются в разнообразных формах и размерах, имеют в оснащении полки и другие дополнительные элементы для увлекательных игр. Многофункциональное устройство станет любимой площадкой для активных развлечений и отдыха вашего пушистого друга.

На сайте зоомаркета «ЛеМуррр» продаются игровые комплексы с лазалкой, с закрытым домиком, с удобным гамаком для сна, модели с искусственным мехом, с ковролиновым покрытием из нескольких ярусов.

Когтеточки-домики

Высокофункциональные установки из двух и более уровней, оснащенные закрытым домиком для расположения кота. В комплектации могут быть полочки, столбики, игрушки, лазалки, тоннели, различные переходы, гамаки. В продаже домики из ковролина, плюша, искусственного меха и т. д.

Материал когтеточки

Основа конструкции изготавливается из разных материалов. Это может быть натуральное дерево или ДСП. Такие модели характеризуются длительным сроком службы. Также есть когтеточки с основой из прессованного или обычного картона. Как правило, они не эстетичны и быстро приходят в негодность.

Для покрытия используется сизалевое полотно, прочный канат, различные ткани, меха и ковролин.

Конструкции из каната и сизаля экологически безопасны, имеют безупречные эксплуатационные характеристики.

Ковролин безвреден для кошек, долговечен и универсален. Еще один плюс – доступная цена и большой выбор расцветок.

Конструкции с отделкой из тканей и искусственного меха по параметрам эксплуатации уступают моделям из каната, сизаля и ковролина. Преимущество – низкая цена, большой выбор моделей.

Выбор когтеточек по типу крепления

Установки для обтачивания кошачьих когтей различаются по типу крепления на три вида: напольные, с креплением на стенку, универсальные.

Как выбрать когтеточку для кошки по типу крепления:

1. Горизонтальная напольная конструкция особо удобная для кошек. При покупке учитывайте размер животного, габариты когтеточки должны соответствовать. Сразу определите место в доме для ее установки. Хорошие модели с устойчивым основанием имеют большой вес, что может вызвать некоторые сложности при переносе на другое место.
2. С настенным креплением – более надежные в эксплуатации. Они прочно крепятся к стене, что исключит риски падения конструкции. Недостаток – придется делать в стенке дырку для крепления, после установки нельзя будет свободно передвигать изделие.
3. Универсальные – имеют устойчивую основу с противоскользящими ножками, могут крепиться к стене или напольной поверхности.

Идеальное место для установки – комната, где чаще всего находится домашний любимец.

Устойчивость когтеточек

Устойчивость – важный критерий выбора. Напольные модели в виде ковриков не крепятся к поверхности, поэтому часто смещаются в процессе игр.

Более устойчивые при эксплуатации установки в форме волн. Оптимальна для покупки когтеточка с большим весом, чтобы в процессе активных игр она не перевернулась.

Универсальные и многофункциональные комплексы, домики имеют хорошую опору. Некоторые конструкции оснащены крепежными элементами.

Наиболее подвержены к падениям когтеточки-столбики. Чтобы исключить подобные события, в результате которых питомец может травмироваться, покупайте конструкцию с прочным тяжелым основанием или дополнительным креплением.

Размер и форма когтеточек

Когтеточки для домашних котиков выпускаются в разных формах и размерах. Перечислять все виды можно до бесконечности: классические прямоугольные, круглые, квадратные, имитирующие лежанку, будку, остров с пальмой, египетскую пирамиду, уютный домик или гамак.

Размер аксессуара определяется заранее, с учетом площади свободного пространства в доме, где планируется установка. Для маленьких квартир оптимальным станет покупка компактной модели-коврика или столбика с небольшим, но устойчивым основанием.

Если позволяет пространство, можно побаловать своего котика и заказать многофункциональный комплекс, состоящий из нескольких ярусов, для увлекательных игр и комфортного отдыха.

При выборе установки по форме и размерам можно ориентироваться на личные предпочтения и бюджет.

Общие рекомендации по выбору когтеточки

Чтобы когтеточка полноценно выполняла свое предназначение, понравилась коту и не создала ненужных проблем в процессе эксплуатации, нужно серьезно отнестись к выбору конструкции, учитывая ее особенности.

Советы специалистов:

1. Сразу определите оптимальный размер и форму установки.
2. Отдавайте предпочтения прочным моделям из экологически безопасных материалов.
3. Если кошка любит обтачивать когти о твердые поверхности, приобретайте изделие из сизалевой веревки или каната.
4. Кошкам, предпочитающим «делать маникюр», используя мягкие покрытия мебели или ковра, больше подойдут модели с покрытием из ковролина, тканей и меха.
5. Установки с игровыми комплексами оценят маленькие котята первого года жизни. Взрослым животным часто бывает достаточно столбика для обтачивания когтей и уютного места для сна. Это может быть удобная полка с мягким основанием или закрытый домик, где ваш питомец может уединиться и хорошенько отдохнуть.

Новую когтеточку нужно установить в удобном месте и надежно зафиксировать. Приучать животное к аксессуару лучше сразу. Некоторые питомцы быстро проявляют интерес к необычному приспособлению, других же приходится завлекать любимыми игрушками или кошачьей мятой. Есть много эффективных способов для приучения животного к данному аксессуару.

Теперь вы знаете, как выбрать когтеточку для кота, и на какие критерии следует обращать внимание при покупке.

«О бесконечности» Роя Андерссона — завораживающий фильм о дырке от бублика

Археология зрения Андерссона неожиданно обрела рифму и с оперой-перформансом литовского павильона «Солнце и море (Марина)» на Венецианской биеннале – 2019 (главный приз — «Золотой лев»). Связь эта содержательная, не формальная. Но есть и прямые переклички. В «Песнях со второго этажа» некий аноним выдыхал:

«Нелегко быть человеком».

В песнях с первого этажа, где происходит действие литовской оперы, персонажи находятся на песчаном пляже. Там они спят, мажутся кремом, играют в шахматы, в мяч, едят, пьют воду, выгуливают собачку… а зрители смотрят на них вниз головой, со второго этажа, и можно расслышать:

«Все вокруг мудро продумано, кроме людей».

В сущности, «Солнце и море…» представляет собой фрагменты банального, но и экзистенциального опыта пляжников, они же еще и люди, вспоминающие события, случившиеся во время внеканикулярное, и поющие поодиночке или хором на бытовые темы, пронзенные сокрушающими их отдых лейтмотивами. Арии про солнцезащитный крем переливаются в рассказы о незапланированной посадке самолета, за которой последовала внезапная любовная история. Рассказ об утонувшем муже в другом месте, где он отдыхал с любовницей, сочетается с горделивой арией мамочки, хвастающей, что ее сын побывал на всех морях. Стоны об опасности стать неудачником и грядущем истощении прерываются песней о солнечном ударе. Рассказ об опухоли в голове — цирковой репризой о необходимости срочно съесть креветки, чтобы унять дикую боль. Философическая тирада о прошедших тысячелетиях, отзывающихся в сегодняшнем дне, — с ненавистью к собакам, которые гадят на пляже, а его к тому же не убирают от пробок, пустых бутылок, врезающихся в оголенное тело пляжников. Печальная песня расстающихся возлюбленных — с жалобой-воспоминанием о том, как бабушка заставляла внучку есть на завтрак противную копченую рыбу с майонезом. Абсурд — в начале мая память о морозе и снеге, а зимой о бутонах и грибах — с возгласом «конец света!». И вновь рифма к фильму «О бесконечности». Один из пляжников запевает о том, что научился не доносить домой свои проблемы, а пассажир в автобусе из фильма Андерссона удивляется, почему другой пассажир не может праздновать свою печаль дома, а не на людях. В конце концов одна из отдыхающих рассекает воздух голосом о том, что плакала, когда поняла, что смертна, что ее тело однажды постареет и сносится. И персонажи Андерссона тоскуют, тщетно пытаясь защитить в бессолнечной (на экране) Швеции свою кожу, чувствительную к невзгодам, непогоде, и умилостивить утратившую веру душу.

Цикличные, как время, страсти, упования объединяют волонтеров — участников перформанса в литовском павильоне и перформеров Роя Андерссона, заряженных органикой клоунов и обывателей, не смиряющихся с положением своих дел и чувств, покуда живучи. 

«Почему люди не летают!» («Гроза»).

Текст опубликован в №9/10 «Искусства кино» за 2019 год под заголовком «Рассказчик»

типы и виды сенсорных комнат релаксации для детей и взрослых

Понятие “сенсорная комната” впервые было введено Марией Монтессори (итальянский врач, ученый, педагог). С точки зрения Монтессори — это среда, насыщенная автодидактически материалом для занятий детей.

Сама же идея искусственной стимуляции восприятия в специально созданной среде зародилась в Голландии более 40 лет назад.

Сенсорная комната психологической разгрузки предназначена для релаксации, наполнения энергией, обучения, развития и может стать отличным инструментом для пробуждения чувств путем действий и экспериментов. В зависимости от методологии, может применяться для стимуляции и развития детей, в т.ч. с аутизмом, людей с ограниченными возможностями, пожилых людей, а также с теми, чья профессия связана с высокой нервной или умственной нагрузкой.

Возможна работа в двух направлениях — используя непрямую терапию, во время которой терапевт/методист только наблюдает за пациентом, или прямое воздействие, когда специалист направляет действия пациента.

Несколько десятилетий комнаты психологической разгрузки используются психологами для снятия стресса и психологических травм у взрослых, для обучения и лечения детей с отклонениями в умственном и физическом развитии. 

Содержание:

Сенсорная комната в детском саду и школе

Нужна ли сенсорная комната в школе или ДОУ для обычных детей? Так ли она необходима детям, посещающим детский сад и еще не знающим слова “стресс”?

Для того, чтобы аргументировать положительный ответ на этот вопрос, рассмотрим используемое оборудование и чем оно может помочь детям.

Простейшая сенсорная комната в детском саду — это помещение с сухим бассейном, воздушно пузырьковыми трубками, мягким или тактильным оборудованием. “Купание” в разноцветных шариках бассейна помогает развивать моторику и улучшать реакцию, снимать излишнюю эмоциональность. Положительное действие оказывается сразу на несколько важнейших органов.

• Вестибулярный аппарат: хаотичные перемещения шариков при движениях ребенка создают эффект средний между плаванием и состоянием невесомости. Попытки удержать равновесие развивают скорость реакции и устойчивость.




• Зрение: плавно меняющаяся интенсивность освещения и смена цветов помогают выработать безболезненную реакцию глаз на меняющуюся интенсивность освещения.




• Слух: тихая приятная мелодия снизит влияние обычного шумового фона, научит различать чуть заметные оттенки звука.




• Тактильные ощущения: при игре в бассейне, шарики будут мягко массировать активные точки на коже, стимулируя их и улучшая восприятие прикосновений к предметам.

В последние годы сенсорная комната в кабинете психолога являются неотъемлемой частью при работе с детьми-инвалидами, аутистами и с проблемами адаптации в большом коллективе.

Занятия направлены на достижение баланса системы чувств человека. Лечение детей-инвалидов и с диагнозом “аутизм” включает: 

• ароматерапию




• светотерапию




• звукотерапию




• сенсорную интеграцию 




• релаксацию

Приглушенный свет создает атмосферу частичной изолированности от окружающих и привыкание к совместным играм проходит быстрее.

Тактильные или интерактивные панели, установленные в комнате, помогут пробудить интерес даже у самых пассивных малышей и сделать процесс обучения незаметным и желанным. У детей быстрее развивается воображение, улучшается память.

Благодаря занятиям в сенсорной комнате релаксации у детей с диагнозом “аутизм” появляется интерес к исследовательской деятельности, развивается мелкая моторика, корректируются нарушения движения и возникает положительный эмоциональный фон.

Школьникам комнаты психологической разгрузки с фиброоптическими изделиями помогут снять напряжение и создадут в помещении одновременно расслабляющую и праздничную обстановку. Эмоциональное состояние ребенка после занятий улучшается, и он снова готов сконцентрировать все внимание на занятиях.

Можно сделать вывод, что сенсорная комната в детском саду или школе, это не роскошь, а необходимость. Она поможет детям:

• снизить утомляемость, а значит, сохранить интерес к обучению и развитию;




• предотвратить вероятность появления страхов или агрессивности;




• проявить пока еще скрытые способности;




• развить музыкальный слух и восприятие цветов

Типы сенсорных комнат:

Сенсорные комнаты бывают различных типов, но они имеют единые задачи — восстановить внутреннюю гармонию и гармонию с окружающим миром, душевное равновесие, разгрузить и укрепить нервную систему. С точки зрения видов активности делятся на 2 вида:

• пассивные: объект находится в среде, которая стимулирует его чувства




• активные: в них предполагается участие пользователя в обучении/расслаблении (причина-следствие)

С точки зрения материалов и экипировки, комнаты психологической разгрузки делятся на 3 типа: светлая, темная сенсорная комната, а так же игровая.

В сенсорных комнатах используется как тактильное, так и световое оборудование. Наибольшему расслаблению также способствует использование ароматерапии и музыки.

Светлая сенсорная комната

Тут преобладает дневной свет.

Светлые сенсорные комнаты чаще используютя в развлекательных центрах, детских садах, школах. Оборудование в таких помещениях монтируется яркое, красочное, предназначенное для активных игр и занятий.

Пример изделий, рекомендованных для светлой комнаты:

• панели для игровых зон (“Цветные стеклышки”, “Калейдоскоп”, “Тактильные ячейки”, “Лабиринт” и т.д.)




• игровой комплекс “Домик”




•  “кресло-лепесток”




• ·мягкие игровые наборы: “Маленький гимнаст”, “Арка”, “Камушки”, “Полоса препятствий”, “Городок”, “Бассейн”, “Уголок”.




• развивающее оборудование для подвижных игр: колесо-трансформер, лестница-мостик, лабиринты для опорно-двигательного аппарата.




• развивающее обучающее оборудование: стол-мозаика, мольберты, ширмы (“За кулисами”, “Кукольный театр”, “Цветные фишки” и пр.)

Темная сенсорная комната

Её характеризует наличие световых элементов, которых обычно нет в светлых комнатах. Главной задачей темной сенсорной комнаты является расслабление, стабилизация псхиоэмоционального состояния. Она является одним из важнейших средств для коррекции и реабилитации.

Занятия в сенсорной комнате — важнейшая часть реабилитационного курса при лечении таких проблем, как задержки речевого и психомоторного развития, адаптационные расстройства, неврозы, гиперактивные состояния.

Стимуляторы, размещенные в темной сенсорной комнате, воздействуют на органы слуха, осязания, обоняния. Мягкий приглушенный свет, тихая расслабляющая музыка, нейтральная цветовая гамма оборудования, — призваны для создания ощущения гармонии, покоя и умиротворенности.

Оборудование, рекомендованное для темной сенсорной комнаты:

• воздушно пузырьковые трубки




• сухие бассейны с подсветкой




• фиброоптические изделия (фиброоптические занавесь, душ, потолок “Звездное небо”, фиброоптическое волокно)




• светозвуковые панели (“Вращающееся колесо”, “Фонтан”, “Бесконечность”, “Музыкальные классики”)




• мягкие формы (“Пуфик круглый”, Пуфик”, “Остров”, “Ромашка”)




• интерактивные системы (“Оми Виста”, “Лайт Бим”, “Интерактивная песочница — умный стол”)

Сенсорная комната игр/приключений

Такой тип предназначен для развития моторики, ознакомления с различными формами, поверхностями, текстурами, изучения окружающей среды.

Сенсорная комната для взрослых

Комнаты психологической разгрузки также используются для релаксации и реабилитации взрослых людей.

Впервые сенсорные комнаты для взрослых стали использовать в Европе в учреждениях, сотрудники которых подвержены наиболее высокому уровню стресса (военнослужащие, пожарные, пилоты гражданской авиации, полицейские и пр.)

И в России в настоящий момент комнаты релаксации и психологической разгрузки пользуются большим спросом.

Помимо вышеперечисленных учреждений, их также устанавливают на крупных промышленных производствах. 

Правило Лопиталя: теория и примеры решений

Производная от функции недалеко падает, а в случае правил Лопиталя она падает точно
туда же, куда падает исходная функция. Это обстоятельство помогает в раскрытии неопределённостей вида
0/0 или ∞/∞ и некоторых других неопределённостей, возникающих при вычислении предела
отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций. Вычисление значительно упрощается с
помощью этого правила (на самом деле двух правил и замечаний к ним):

.

Как показывает формула выше, при вычислении предела отношений двух бесконечно малых
или бесконечно больших функций предел отношения двух функций можно заменить пределом отношения их производных и, таким
образом, получить определённный результат.

Перейдём к более точным формулировкам правил Лопиталя.

Правило Лопиталя для случая предела двух бесконечно малых величин. Пусть функции f(x) и g(x)
имеют производные (то есть дифференцируемы) в некоторой окрестности точки a. А в самой точке
a они могут и не иметь производных. При этом в окрестности точки a производная
функции g(x) не равна нулю (g‘(x)≠0) и
пределы этих функций при стремлении икса к значению функции в точке a равны между собой
и равны нулю:

.

Тогда предел отношения этих функций равен пределу отношения их производных:

.

Правило Лопиталя для случая предела двух бесконечно больших величин. Пусть функции f(x) и g(x)
имеют производные (то есть дифференцируемы) в некоторой окрестности точки a. А в самой точке
a они могут и не иметь производных. При этом в окрестности точки a производная
функции g(x) не равна нулю (g‘(x)≠0) и
пределы этих функций при стремлении икса к значению функции в точке a равны между собой
и равны бесконечности:

.

Тогда предел отношения этих функций равен пределу отношения их производных:

.

Иными словами, для неопределённостей вида 0/0 или ∞/∞ предел отношения двух функций
равен пределу отношения их производных, если последний существует (конечный, то есть равный определённому
числу, или бесконечный, то есть равный бесконечности).

Замечания.

1. Правила Лопиталя применимы и тогда, когда функции f(x) и g(x)
не определены при x = a.

2. Если при вычисления предела отношения производных функций f(x) и g(x)
снова приходим к неопределённости вида 0/0 или ∞/∞, то правила Лопиталя следует применять многократно (минимум
дважды).

3. Правила Лопиталя применимы и тогда, когда аргумент функций (икс) стремится не к
конечному числу a, а к бесконечности (x → ∞).

К неопределённостям видов 0/0 и ∞/∞ могут быть сведены и неопределённости других видов.

Пример 1. Вычислить предел отношения двух функций, пользуясь правилом Лопиталя:

Решение. Подстановка в заданную функцию значения x=2 приводит к неопределённости вида 0/0. Поэтому
производную каждой функции и получаем

В числителе вычисляли производную многочлена, а в знаменателе — производную сложной
логарифмической функции. Перед последним знаком равенства вычисляли обычный предел, подставляя вместо
икса двойку.

Пример 2. Вычислить предел отношения двух функций, пользуясь правилом Лопиталя:

.

Решение. Подстановка в заданную функцию значения x=0 приводит к неопределённости вида 0/0.
Поэтому вычисляем производные функций в числителе и знаменателе и получаем:

Пример 3. Вычислить предел отношения двух функций, пользуясь правилом Лопиталя:

.

Решение. Подстановка в заданную функцию значения x=0 приводит к неопределённости вида 0/0.
Поэтому вычисляем производные функций в числителе и знаменателе и получаем:

Пример 4. Вычислить

.

Решение. Подстановка в заданную функцию значения икса, равного плюс бесконечности,
приводит к неопределённости вида ∞/∞. Поэтому применим правило Лопиталя:

Замечание. Переходим к примерам, в которых правило Лопиталя приходится применять
дважды, то есть приходить к пределу отношений вторых производных, так как предел отношения первых производных представляет собой неопределённость вида 0/0 или ∞/∞.

Пример 5. Вычислить предел отношения двух функций, пользуясь правилом Лопиталя:

.

Решение. Находим

Здесь правило Лопиталя применено дважды, поскольку и предел отношения функций, и предел отношения производных дают неопределённость вида ∞/∞.

Пример 6. Вычислить

.

Решение. Находим

Здесь правило Лопиталя применено дважды, поскольку и предел отношения функций, и предел отношения производных дают неопределённость вида 0/0.

Пример 7. Вычислить

.

Решение. Находим

Здесь правило Лопиталя применено дважды, поскольку и предел отношения функций, и предел отношения производных
сначала дают неопределённость вида — ∞/∞, а затем неопределённость вида 0/0.

Пример 8. Вычислить

.

Решение. Находим

Здесь правило Лопиталя применено дважды, поскольку и предел отношения функций, и предел отношения производных
сначала дают неопределённость вида ∞/∞, а затем неопределённость вида 0/0.

Пример 11. Вычислить

.

Решение. Получаем

(здесь неопределённость вида 0∙∞ мы преобразовали к виду ∞/∞, так как

а затем применили правила Лопиталя).

Пример 12. Вычислить

.

Решение. Получаем

В этом примере использовано тригонометрическое тождество
.

Неопределённости вида , или
обычно приводятся к виду 0/0 или ∞/∞ с помощью
логарифмирования функции вида

Чтобы вычислить предел выражения ,
следует использовать логарифмическое тождество ,
частным случаем которого является
и свойство логарифма .

Используя логарифмическое тождество и свойство непрерывности функции (для перехода
за знак предела), предел следует вычислять следующим образом:

Отдельно следует находить предел выражения в показателе степени и возводить e
в найденную степень.

Пример 13. Вычислить, пользуясь правилом Лопиталя

.

Решение. Получаем

Вычисляем предел выражения в показателе степени

.

Итак,

.

Пример 14. Вычислить, пользуясь правилом Лопиталя

.

Решение. Получаем

Вычисляем предел выражения в показателе степени

.

Итак,

.

Пример 15. Вычислить, пользуясь правилом Лопиталя

.

Решение. Получаем

Вычисляем предел выражения в показателе степени

Итак,

.

Это случаи, когда вычисление предела разности функций приводит к неопределённости
«бесконечность минус бесконечность»: .

Вычисление такого предела по правилу Лопиталя в общем виде выглядит следующим образом:

В результате таких преобразований часто получаются сложные выражения, поэтому
целесообразно использовать такие преобразования разности функций, как приведение к общему знаменателю,
умножение и деление на одно и то же число, использование тригонометрических тождеств и т.д.

Пример 16. Вычислить, пользуясь правилом Лопиталя

.

Решение. Пользуясь вышеперечисленными рекомендациями, получаем

Пример 17. Вычислить, пользуясь правилом Лопиталя

.

Решение. Пользуясь вышеперечисленными рекомендациями, получаем

Весь блок «Производная»

бесконечность | Определение и факты

Математические бесконечности

Древние греки выражали бесконечность словом apeiron , которое имело коннотации неограниченного, неопределенного, неопределенного и бесформенного. Одно из первых проявлений бесконечности в математике связано с соотношением диагонали и стороны квадрата. Пифагор (ок. 580–500 до н. Э.) И его последователи первоначально считали, что любой аспект мира может быть выражен с помощью целых чисел (0, 1, 2, 3,…), но они были удивлены, обнаружив, что диагональ и сторона квадрата несоизмеримы, то есть их длина не может быть выражена как целое число, кратное какой-либо общей единице (или мерной линейке).В современной математике это открытие выражается в том, что соотношение иррационально и является пределом бесконечного неповторяющегося десятичного ряда. В случае квадрата со стороной 1 диагональ равна квадратному корню из √2, записанному как 1,414213562…, где многоточие (…) указывает на бесконечную последовательность цифр без образца.

И Платон (428 / 427–348 / 347 до н. Э.) И Аристотель (384–322 до н. Э.) Разделяли общее греческое отвращение к понятию бесконечности. Аристотель оказал влияние на последующую мысль на протяжении более чем тысячелетия, отрицая «актуальную» бесконечность (пространственную, временную или числовую), которую он отличал от «потенциальной» бесконечности способности считать без конца.Чтобы избежать использования фактической бесконечности, Евдокс Книдский (ок. 400–350 г. до н. Э.) И Архимед (ок. 285–212 / 211 г. до н. Э.) Разработали метод, позже известный как метод исчерпания, при котором площадь рассчитывалась путем уменьшения вдвое блок измерения на последовательных этапах, пока оставшаяся область не станет ниже некоторого фиксированного значения (оставшаяся область не будет «исчерпана»).

Проблема бесконечно малых чисел привела к открытию исчисления в конце 1600-х годов английским математиком Исааком Ньютоном и немецким математиком Готфридом Вильгельмом Лейбницем.Ньютон ввел свою собственную теорию бесконечно малых чисел или бесконечно малых чисел, чтобы оправдать вычисление производных или наклонов. Чтобы найти наклон (то есть изменение y по сравнению с изменением x ) для линии, касающейся кривой в данной точке ( x , y ), он счел полезным посмотреть при соотношении между d y и d x , где d y — бесконечно малое изменение в y , произведенное перемещением бесконечно малой величины d x из x .Бесконечно малые величины подвергались резкой критике, и большая часть ранней истории анализа вращалась вокруг попыток найти альтернативное, строгое основание для предмета. Использование бесконечно малых чисел, наконец, получило прочную основу с развитием нестандартного анализа математиком Абрахамом Робинсоном, родившимся в Германии, в 1960-х годах.

Получите подписку Britannica Premium и получите доступ к эксклюзивному контенту.
Подпишитесь сейчас

Более прямое использование бесконечности в математике возникает при попытках сравнить размеры бесконечных множеств, таких как множество точек на линии (действительные числа) или множество счетных чисел.Математиков быстро поражает тот факт, что обычные интуитивные представления о числах вводят в заблуждение, когда говорят о бесконечных размерах. Средневековые мыслители знали о парадоксальном факте, что отрезки прямой разной длины, казалось, имели одинаковое количество точек. Например, нарисуйте два концентрических круга, один из которых в два раза больше радиуса (и, следовательно, в два раза больше окружности) другого, как показано на рисунке. Удивительно, но каждая точка P на внешнем круге может быть спарена с уникальной точкой P ′ на внутреннем круге, проведя линию от их общего центра O до P и пометив ее пересечение с внутренним кругом . П ′.Интуиция подсказывает, что внешний круг должен иметь вдвое больше точек, чем внутренний круг, но в этом случае бесконечность кажется такой же, как удвоенная бесконечность. В начале 1600-х годов итальянский ученый Галилео Галилей обратился к этому и к аналогичному неинтуитивному результату, теперь известному как парадокс Галилея. Галилей продемонстрировал, что набор счетных чисел можно поставить во взаимно однозначное соответствие с явно меньшим набором их квадратов. Он аналогичным образом показал, что множество счетных чисел и их двойников (т.е., набор четных чисел) можно было объединить в пары. Галилей пришел к выводу, что «мы не можем говорить о бесконечных количествах как о том, что одно больше, меньше или равно другому». Такие примеры побудили немецкого математика Ричарда Дедекинда в 1872 году предложить определение бесконечного множества как такого, которое можно было бы поставить во взаимно-однозначное отношение с некоторым подходящим подмножеством.

Путаница с бесконечными числами была разрешена немецким математиком Георгом Кантором, начиная с 1873 года. Первый Кантор строго продемонстрировал, что множество рациональных чисел (дробей) имеет тот же размер, что и счетные числа; поэтому они называются счетными или счетными.Конечно, это не было настоящим шоком, но позже в том же году Кантор доказал удивительный результат, заключающийся в том, что не все бесконечности равны. Используя так называемый «диагональный аргумент», Кантор показал, что размер счетных чисел строго меньше размера действительных чисел. Этот результат известен как теорема Кантора.

Для сравнения множеств Кантор сначала различил конкретный набор и абстрактное понятие его размера или мощности. В отличие от конечного множества, бесконечное множество может иметь ту же мощность, что и собственное подмножество.Кантор использовал диагональный аргумент, чтобы показать, что мощность любого набора должна быть меньше мощности его набора мощности, то есть набора, который содержит все возможные подмножества данного набора. В общем, набор с n элементов имеет набор мощности с 2 ⁿ элементами, и эти две мощности различаются, даже когда n бесконечно. Кантор назвал размеры своих бесконечных множеств «трансфинитными кардиналами». Его аргументы показали, что существуют трансфинитные кардиналы бесконечного множества различных размеров (например, кардиналы множества счетных чисел и множества действительных чисел).

Трансфинитные кардиналы включают aleph-null (размер множества целых чисел), aleph-one (следующая большая бесконечность) и континуум (размер действительных чисел). Эти три числа также записываются как ℵ ₀ , ℵ ₁ и c соответственно. По определению ₀ меньше ₁ , а по теореме Кантора ₁ меньше или равно c . Наряду с принципом, известным как аксиома выбора, метод доказательства теоремы Кантора может быть использован для обеспечения бесконечной последовательности трансфинитных кардиналов, продолжающихся от 1 ₁ до таких чисел, как ₂ и ℵ _{ℵ 0} .

Проблема континуума — это вопрос о том, какой из алефов равен мощности континуума. Кантор предположил, что c = ℵ ₁ ; это известно как гипотеза континуума Кантора (CH). CH также можно рассматривать как утверждение, что любой набор точек на линии либо должен быть счетным (размером меньше или равным ℵ ₀ ), либо должен иметь размер, равный всему пространству (иметь размер c ).

В начале 1900-х годов была разработана обстоятельная теория бесконечных множеств.Эта теория известна как ZFC, что означает теорию множеств Цермело-Френкеля с аксиомой выбора. Известно, что CH неразрешима на основе аксиом ZFC. В 1940 году логик, родившийся в Австрии, Курт Гёдель смог показать, что ZFC не может опровергнуть CH, а в 1963 году американский математик Пол Коэн показал, что ZFC не может доказать CH. Теоретики множеств продолжают исследовать способы разумного расширения аксиом ZFC, чтобы разрешить CH. Недавняя работа предполагает, что CH может быть ложным и что истинный размер c может быть большей бесконечностью ℵ ₂ .

Теория элементарных множеств — Сравнение двух бесконечностей

Говорят, что два набора $ A $ и $ B $ имеют одинаковую мощность , если существует функция $ f: A \ to B $, которая взаимно однозначна и на. Более неформально, $ A $ и $ B $ имеют одинаковую мощность, если элементы $ A $ и $ B $ могут быть «спарены».
Обратите внимание, что если $ A $ конечно, то $ A $ и $ B $ имеют одинаковую мощность тогда и только тогда, когда $ A $ и $ B $ имеют одинаковые число элементов. Но формальное определение «одинаковой мощности» не упоминает числа, поэтому оно имеет смысл даже для бесконечных множеств.

Давайте посмотрим на бесконечный пример. Множество $ A = \ {1,2,3,4, \ dots \} $ натуральных чисел и множество $ B = \ {2,4,6,8, \ dots \} $ четных целых положительных чисел имеют той же мощности, поскольку мы можем объединить целое число $ k $ в пару с четным целым числом $ 2k $. В терминах функций функция $ f (x) = 2x $ взаимно однозначно соответствует отображению из $ A $ в $ B $.

Мы говорим, что $ A $ имеет мощность меньше , чем (мощность) $ B $, если существует взаимно однозначное отображение от $ A $ до (части) $ B $, но $ A $ и $ B $ имеют разную мощность.

Используя аксиому выбора, можно доказать, что для любых двух множеств $ A $ и $ B $ либо (i) $ A $ и $ B $ имеют одинаковую мощность, либо (ii) $ A $ имеет мощность меньше $ B $ или (iii) $ B $ имеет мощность меньше $ A $. (Этот результат иногда называют Трихотомия .)

Таким образом, любые два набора можно сравнить по «размеру».

Оказывается, не все бесконечные множества имеют одинаковую мощность. Знаменитый ранний результат принадлежит Cantor. Пусть $ \ mathbb {N} $ — множество натуральных чисел, а $ \ mathbb {R} $ — множество действительных чисел.Тогда $ \ mathbb {N} $ имеет мощность меньше , чем $ \ mathbb {R} $. Итак, в смысле мощности два бесконечных множества могут иметь разные размеры.

В общем, можно доказать, что совокупность всех подмножеств множества $ S $ имеет мощность больше, чем мощность $ S $. В частности, это означает, что набор всех подмножеств вещественных чисел имеет мощность больше, чем набор действительных чисел.

В смысле мощности существует очень богатое семейство «бесконечностей» разного размера.«

Существуют разные виды бесконечностей | Каспер Мюллер

Георг Кантор

От блеска к безумию

Это история о гениальном человеке, который настолько увлекся математическим вопросом, что сошел с ума и в конце концов умер в одиночестве в санатории. Эта статья также предназначена как введение в концепцию математической бесконечности и трансфинитного мира.

Подумайте о натуральных числах 1, 2, 3, 4, 5,…. Этот набор обозначается ℕ. Довольно легко увидеть, что это множество бесконечно, потому что предположим, что существует только конечное число натуральных чисел i.е. предположим, что ℕ — конечное множество, тогда мы можем выбрать наибольшее число и просто добавить к нему 1. Это сгенерирует новое натуральное число, не входящее в ℕ. Но поскольку предполагалось, что содержит все натуральные числа, мы пришли к противоречию.

Итак, натуральных чисел бесконечно много. Однако существует также бесконечно много целых чисел, например, так как же нам сравнивать размеры этих бесконечных множеств?

Этот вопрос был задан математиком Жерменом Георгом Кантором в конце 19 века.

Кантор родился в 1845 году в Санкт-Петербурге, Россия, и в возрасте одиннадцати лет вместе с семьей переехал в Германию. Молодой Кантор был фантастическим музыкантом и отличным учеником. Математика далась ему особенно легко, когда он стал старше и получил докторскую степень в 1867 году.

Кантор не боялся мыслить нестандартно и бросать вызов мудрости времени. Он начал думать о вопросах, которые математики в то время считали почти математической ересью.

В частности, Кантор придумал способ сравнения размера (называемого мощностью) бесконечных множеств.

Давайте вернемся к вопросу о сравнении мощности натуральных чисел ℕ с мощностью целых чисел. Как сравнить количество элементов в этих наборах?

Проблема, конечно, в том, что вы не можете просто подсчитать количество элементов в каждом наборе, а затем сравнить результаты. Это будет работать для конечных наборов, но не для бесконечных наборов, потому что вы никогда не закончите подсчет элементов первого набора, например, натуральных чисел.

Представьте, что у вас есть две большие стопки маленьких камней, и вам нужно выяснить, в какой стопке больше всего камней, но вам не разрешается считать камни в каждой стопке.

Как бы вы решили эту проблему?

Поразмыслив некоторое время над этим, вы, вероятно, придете к примерно следующему: вы просто удаляете камни парами — по одному из каждой кучи. В куче, в которой кончаются камни первой, изначально было наименьшее количество камней.

Считаю, что это красивое решение. Обратите внимание, что мы ничего не знаем о количестве камней в каждой стопке, а именно о том, в какой из них больше всего камней. В частности, если в обеих стопках кончаются камни одновременно, то в стопках должно быть одинаковое количество камней.

Кантор предлагает эквивалентный метод для бесконечных множеств. Это просто: если существует взаимно однозначное и взаимно однозначное отображение (называемое биекцией) между множествами, то их мощность одинакова. Биекция — это просто функция

f: A → B

, такая, что для каждого элемента b в B, существует ровно , один элемент a в A, так что f (a ) = b . Иногда мы говорим, что наборы находятся во взаимно однозначном соответствии.

Примеры биективных функций f: ℝ → ℝ включают

для (0, ∞) → (-∞, ∞), у нас есть, например, биекция

Последний пример показывает, что набор положительных действительных чисел имеет одинаковый размер как и все настоящие числа!

Обратите внимание, что если наборы конечны, то это точно так же, как их попарное сравнение, как мы делали в нашем примере с каменной кучей.

Биективное отображение

Теперь фактически оказывается, что существует взаимно однозначное соответствие между ℤ и. Рассмотрим следующую функцию, которая отправляет 1 → 1, 2 → -1, 3 → 2, 4 → -2 и т. Д.Это отображение биективно, что показывает, что мощности этих множеств одинаковы. Это может показаться нелогичным, поскольку очевидно, что ℕ ⊂ ℤ, но на самом деле два набора имеют одинаковый размер.

Обратите внимание, что это означает, что можно перечислить целые числа, то есть мы можем поставить метку на каждое целое число. Вышеупомянутая функция дает нам список 1, -1, 2, -2, 3, -3,….

Если существует взаимное соответствие между натуральными числами и множеством A, , мы говорим, что A является счетно бесконечным (иногда мы называем это счетным) .Если бесконечное множество не является счетно бесконечным, то мы называем его несчетным бесконечным (или несчетным ). По этому определению множество целых чисел счетно бесконечно.

Как насчет мощности рациональных чисел ℚ? Разумеется, дробей целых чисел должно быть больше, чем натуральных, поскольку все целые числа рациональны, но не наоборот… Верно?

Ну … Вообще-то неожиданный ответ … нет. Множество ℚ тоже счетно! Я позволю себе задачу «найти биекцию f: ℕ → exercise» как упражнение для читателя.

В одной из своих первых работ Кантор доказал, что эти множества имеют одинаковый размер. Следует иметь в виду, что такой математикой никогда раньше не занимались, и математическое сообщество не было впечатлено его работой.

Фактически, Кронекер считал Кантора «развратником молодежи», который обучал своим идеям молодое поколение математиков, и не боялся распространять информацию в обществе. К несчастью для Кантора, Кронекер был не единственным, кто придерживался такого мнения.Кантор стремился получить профессуру в Берлине, но всякий раз, когда он подавал заявку на должность, ему отказывали, и обычно это касалось Кронекера.

В мае 1884 года у Кантора случилась серьезная депрессия. Критика его работы сказалась на нем, и в этот момент он был готов навсегда отказаться от математики.

Однако Кантор вскоре выздоровел и взял на себя еще одно бесконечное множество.

Кантор теперь рассматривает набор действительных чисел, который, конечно, содержит все вышеперечисленные наборы как подмножества.Более конкретно, он обращается к вопросу «можно ли считать набор действительных чисел?».

Как показывает Кантор в статье 1891 года, оказывается, что действительные числа не могут быть поставлены во взаимно однозначное соответствие с набором натуральных чисел, то есть набор действительных чисел несчетно бесконечен! Это бесконечность больше, чем бесконечность натуральных чисел.

Его доказательство этого — чудо. Истинное прозрение блеска. Давайте набросаем здесь доказательство:

Ниже приводится набросок доказательства.

Предположим, что набор действительных чисел был счетным. Тогда, в частности, у нас был бы способ перечислить все действительные числа с нулями и единицами в качестве десятичных знаков.

Рассмотрим такой список чисел с нулями и единицами. Я утверждаю, что из этого (возможно, бесконечного) списка мы всегда можем сгенерировать число, которого нет в этом списке.

Просто создайте новое число s , взяв первое десятичное число s в качестве дополнения к первому десятичному знаку первого числа в списке i.е. если это 0, будет 1 и наоборот. Сделайте второй десятичный знак с дополнением второго десятичного знака второго числа в списке и так далее…

Понятно, что с не может быть в списке, потому что оно не может быть первым число, поскольку оно будет отличаться первым десятичным знаком, оно не может быть вторым числом, потому что оно будет отличаться во втором десятичном знаке, и так далее.

Это показывает, что вы не можете перечислить все действительные числа.

Это доказательство называется «диагональным аргументом Кантора ». Обратите внимание, однако, что Кантор использовал бесконечные двоичные строки, и некоторые детали намеренно упущены. Но это дает вам представление о главном аргументе.

Это показывает, что существует более чем один вид бесконечности, но, к сожалению для Кантора, его современники тоже не оценили этого.

После этого открытия Кантору предстояло исследовать целый мир. Мир, которого никто раньше не видел. Вскоре он обнаружил даже большие бесконечности, чем истинные числа. На самом деле он нашел бесконечно много разных бесконечностей!

Чтобы ввести некоторые обозначения, мощность набора обозначается card (A) или | A |.Набор мощности набора A — это набор всех подмножеств A и обозначается

. Обратите внимание, что для конечного набора A у нас есть

. Не забудьте включить пустой набор и весь набор, когда вы рассчитать набор мощности.

Если набор A имеет меньшую мощность, чем набор B , мы запишем

В этой нотации Кантор установил

Но удивительный результат, который доказал Кантор, заключается в том, что для любого набора A ,

Это сразу доказало существование бесконечного множества различных бесконечностей.

Он также доказал, что на самом деле

то есть мощность набора натуральных чисел имеет ту же мощность, что и континуум (действительные числа). Он развил то, что мы теперь называем кардинальной арифметикой, где можно показать, например, что

Как видите, Кантор погрузился в мир, где всегда была бесконечность больше, чем та, которую вы только что поняли.

Кантор верил в Бога и считал своим долгом помочь Богу донести это послание до остального мира.Это имело бы последствия для образа мыслей Кантора об этом, поскольку его бесконечности становились больше и сложнее.

Обозначение алеф ℵ представляет собой список всех бесконечностей в порядке возрастания, т.е.

Кантор задумался над этим списком и теперь задал себе критический вопрос, меняющий сцену, а именно

Есть ли бесконечность больше, чем у натуральные числа, но меньшие, чем у континуума?

Континуум, означающий действительные числа ℝ.

Этот вопрос известен как гипотеза континуума. Чтобы быть точным, гипотеза континуума утверждает

То есть, между натуральными и действительными числами нет мощности.

Кантор был одержим гипотезой континуума. В какой-то момент он подумал, что доказал, что это правда, только чтобы осознать ошибку, и внезапно он подумал, что доказал, что это ложь. Этот шаблон повторяется, и при каждой попытке он рассылает математикам письма, которые он затем должен извинить чуть позже, когда осознает ошибку.

В 1899 году Кантор попал в санаторий, но снова поправился. Однако вскоре после этого 16 декабря того же года внезапно скончался младший сын Кантора, Рудольф, и эта трагедия нанесла ему огромный урон. Он так и не оправился от этого, и в 1903 году его снова госпитализировали. Кантор всю оставшуюся жизнь страдал от хронической депрессии.

Это был плохой цикл, как только он получил свою энергию, он вернулся к гипотезе континуума и снова и снова сходил с ума с намерением навсегда оставить математику (на самом деле он делал большие перерывы в математике, но всегда возвращался).Он даже начал сомневаться в Боге, потому что думал, что является частью Божьего плана, но тогда зачем усложнять ему задачу?

Кантор вышел на пенсию в 1913 году, живя в бедности, но на самом деле он добился некоторого признания за свою работу еще при жизни. Один из величайших математиков 20 века Дэвид Гильберт сказал знаменитую фразу:

Никто не должен изгнать нас из рая, созданного для нас Кантором.

Публичное празднование его 70-летия было отменено из-за войны.В июне 1917 года он в последний раз пошел в санаторий и постоянно писал жене, прося отпустить его домой.

У Георга Кантора случился сердечный приступ со смертельным исходом 6 января 1918 года в санатории, где он провел последний год своей жизни.

Я закончу этот рассказ данью уважения науке от великого Уильяма Блейка .

Чтобы увидеть мир в песчинке

И рай в полевом цветке

Держите бесконечность в ладони

И Вечность через час

~ Уильям Блейк

Различные типы бесконечности — De Econometrist

30 января
•

Statistiek

Вискунде

Самое большое число, которое вы можете придумать в детстве, — это, вероятно, около сотни.Когда вы станете старше, это будет тысяча, а в определенном возрасте вы начинаете понимать, что их еще больше. В конце концов, возникает вопрос: какое число больше всего? Бесконечность? Нет, к сожалению, вас еще нет. Бесконечность — это понятие неограниченного описания чего-то большего, чем любое натуральное число. В таких фразах, как «бесконечность считает или измеряет вещи», бесконечность часто трактуется как число, хотя оно не является ни натуральным, ни действительным числом.

Алеф-нуль

Георг Кантор, немецкий математик, формализовал многие идеи, относящиеся к более чем одному типу бесконечности на рубеже 20-го века.Все это время его считали дураком и плохо относились к его мыслям. Позже он много времени проводил в психиатрических больницах. В конце концов, он умер там, и только незадолго до его смерти люди наконец узнали его идеи.

Начнем с формальностей. Когда число относится к количеству вещей, оно называется кардинальным числом. Например, натуральные числа используются как кардиналы. Теория множеств — это раздел математической логики, изучающий множества, которые неформально представляют собой совокупности объектов.Два набора имеют одинаковую мощность, когда каждый атрибут одного набора может быть сопоставлен с одним атрибутом другого набора. Существует бесконечное множество множеств разного размера, называемых мощностями. Если вы посмотрите на это с этой точки зрения, люди часто задаются вопросом, сколько существует натуральных чисел. Это количество называется алеф-нуль, первая наименьшая бесконечность, где алеф — первая буква еврейского алфавита. Первая бесконечность называется счетной, но вы не можете считать бесконечность, потому что она продолжается вечно. Поэтому многие математики предпочитают называть первую бесконечность списковой.Не только список натуральных чисел имеет значение aleph-null, список четных и нечетных чисел также имеет значение aleph-null. Более того, множество рациональных чисел, в которое входят дроби, тоже имеет значение aleph-null. Это может показаться странным, поскольку дробей на числовой прямой больше. Однако дело в том, как расположены числа. Как оказалось, Кантор показал, что дроби можно расположить таким образом, чтобы натуральные числа можно было поставить во взаимно однозначное соответствие, где они имеют ту же мощность, что и натуральные числа.Это неверно для бесконечного набора действительных чисел из-за того, что действительные числа не могут быть перечислены.

Парадокс отеля Гильберта

Другой способ понять концепцию бесконечности — это парадокс отеля Hilbert Hotel Paradox. Здесь становится ясно, что дело не в количестве атрибутов, содержащихся в наборе, а в порядке следования атрибутов. Представьте себе отель с бесконечным количеством комнат для проживания. Предположим, что все эти комнаты заняты каждым человеком.Следовательно, мы имеем дело с взаимно однозначным соответствием. Вдруг к нам заходит другой человек. Интуитивно можно предположить, что отель уже переполнен. Тем не менее, перемещение всех проживающих в отеле на одну комнату вверх приводит к тому, что первая комната становится бесплатной. Так как комнат бесконечно много, можно переместить всех на одну комнату вверх. Таким образом, отель никогда не бывает переполнен, поскольку новый посетитель может перейти в комнату номер один. Даже когда появляется бесконечное количество людей, гости в отеле могут перемещаться бесконечно.Только если была последняя комната, можно было пересчитать все комнаты и, следовательно, получить максимум.

Beyond alpeh-null

Алеф-нуль больше любого конечного количества. Тем не менее, мы умеем считать и дальше. Чтобы понять, как считать прошедшую бесконечность, визуализируйте следующее. Отрисовывается набор линий, каждая из которых является частью размера и частью расстояния от каждой последней линии. Количество строк равно количеству натуральных чисел. Таким образом, линия может быть сопоставлена ​​один к одному, каждое натуральное число соединяется с линией.Кроме того, оба набора имеют мощность aleph-null. Добавление строки рядом с набором дает мощность aleph-null, как объясняется в Hilbert Hotel Paradox.

Более того, как было показано ранее, добавление строк ничего не изменит. Вместо того, чтобы пронумеровать каждую строку один к одному, каждая строка нумеруется в соответствии с порядком, в котором она была нарисована. Следовательно, возникает вопрос, какой номер следует присвоить линии, нарисованной рядом с набором после набора строк, которые уже был нарисован.Линия не учитывается в общем количестве строк. Однако, чтобы иметь возможность маркировать его в соответствии с порядком, стало очевидно, что нам нужен набор меток чисел, выходящий за пределы натурального числа. Помимо кардинальных чисел существует еще один тип бесконечных чисел, а именно порядковые числа. Как следует из названия, порядковые номера можно идентифицировать с помощью хорошо упорядоченных наборов. Эти наборы включают очки после того, как бесконечное число уже было подсчитано. Или, как сказали бы большинство математиков, перечисленные. Первый трансфинитный порядковый номер — это омега.Это следующая этикетка, которая вам понадобится после того, как вы израсходуете бесконечную коллекцию каждого отдельного счетного числа. Представьте, что вы участвуете в гонке и попали на место омеги. Это подразумевает, что бесконечное количество участников закончили раньше вас. После того, как вы закончили, заканчивается омега плюс один. Как уже было сказано, порядковые числа не о суммах. Они просто указывают тип заказа суммы. Тип заказа набора — это просто первый порядковый номер, который не требуется для обозначения всего в наборе по порядку.Следовательно, для конечных чисел мощность и тип порядка одинаковы, а тип порядка всех натуральных чисел — омега. Более того, омега плюс один не больше омеги. Вместо этого он идет после омеги.

Как было сказано ранее, можно показать, что существуют бесконечности больше, чем aleph-null. Мощность набора — это набор всех различных подмножеств, которые вы можете сделать из него. Например, из набора 1 и 2 вы можете создать либо пустой набор, набор, содержащий 1, набор, содержащий 2, и набор, содержащий 1 и 2.Следовательно, мощность набора равна четырем. Два в степени количества элементов в исходном наборе — это мощность этого конкретного набора. Кроме того, набор мощности всех натуральных чисел — это набор мощности aleph-null. Более того, составление списка всех подмножеств из натуральных чисел позволяет нам пронумеровать все подмножества. После этого применяется диагональный аргумент Кантора. Он работает как математическое доказательство того, что существуют бесконечные множества, которые нельзя поставить во взаимно однозначное соответствие с бесконечным множеством натуральных чисел.Как именно это работает, пока не важно. Что важно, это приведет к еще большему списку с большим количеством подмножеств. Этот список, этот новый набор подмножеств дает большую бесконечность, чем aleph-null. Опять же, повторяя этот процесс, взяв в качестве мощности наборы натуральных чисел, мы получим еще большие бесконечности и так далее.

Другие парадоксы

Помимо Hilbert Hotel Paradox, есть еще несколько примеров ситуаций, которые в первую очередь идут вразрез с нашей интуицией о бесконечности.Бесконечность идеально вписывается в наш математический мир. Тем не менее, в физическом мире у людей все еще есть некоторые трудности с пониманием бесконечности, когда кто-то пытается ее вообразить. Два других парадокса помогают нам лучше понять концепцию бесконечности. Одна из них — труба Габриэля. Представьте себе трубу с широким концом, а затем, переходя к другой стороне объекта, труба становится все тоньше и тоньше. Поверхность этой трубы бесконечна. С другой стороны, громкость трубы конечна.Так как кто-то красит трубу, ему потребуется огромное количество краски, и он будет продолжать раскрашивать объект по мере того, как он становится все тоньше и тоньше. Спорно, если бы он хотел определить объем, он просто наполнял бы трубу краской, чтобы посмотреть, сколько краски попадает в трубу. Если мы думаем о физической краске, то нельзя окрасить всю поверхность, из-за того, что труба становится настолько тонкой в ​​конце, что размер молекул краски становится слишком большим. Если бы у нас была математическая раскраска, это было бы возможно.В этот момент многие люди думали, что с идеей бесконечности что-то не так, поскольку они не могли сопоставить концепцию бесконечности с реальным миром.

Еще один парадокс — парадокс Санкт-Петербурга. Предположим, казино кладет в коробку один евро. Ставка проста: когда подброшена честная монета, и выпадет орел, вы теряете один евро, когда решка, вы выигрываете один евро из коробки. Вопрос в том, на сколько евро ставить. Часто люди ставили около двадцати евро.Несмотря на то, что шансы на выигрыш (обозначаемые в формуле буквой p) уменьшаются вдвое каждый раз, когда к ставке добавляется евро, тогда как оплата казино удваивается (что обозначается двумя в степени n в формула). Это означает, что ожидаемая сумма денег, которую человек может выиграть, бесконечна. Хотя на первый взгляд кажется, что это не так много, простые математические вычисления с использованием концепции бесконечности показывают обратное.

Кантор установил важность взаимно-однозначного соответствия между членами двух множеств.Более того, он определил эти бесконечные и хорошо упорядоченные множества и доказал, что действительные числа более многочисленны, чем натуральные. Кроме того, он определил кардинальные и порядковые числа и их арифметику. В общем, оказалось, что Кантор не был таким дураком, когда доказал существование «бесконечности бесконечностей».

Эта статья написана Анн Дюмулен.

Существуют разные типы бесконечности

Существуют ли разные типы бесконечности?

Существуют различные типы бесконечности (∞), которые различаются размером, счетностью, «вкусом» и т. Д.Большинство типов имеют практическое применение в реальном мире. ^[1]

Краткое описание типов бесконечностей

Как правило, бесконечности можно описывать наборами, функциями и иррациональными числами, они либо «счетные», либо несчетные, и бывают разных размеров.

В реальной жизни встречается много бесконечностей, некоторые мы можем увидеть или потрогать, как топография, некоторые мы не можем так легко, как волна вероятности фотона, но в целом все можно описать на бумаге с помощью математики.Между тем, другие типы бесконечности носят чисто теоретический характер.

Ниже мы описываем, что такое бесконечность, различные типы счетных и несчетных бесконечностей, а также некоторые парадоксы, связанные с различными типами бесконечностей. Цель здесь — показать, что бесконечность — это не «один размер для всех», а скорее набор «вкусов».

СОВЕТ : Узнайте о бесконечности из этого плейлиста PBS Infinite Series.

Бесконечность — это концепция, а не число … но она все еще полезна

Прежде чем мы сможем говорить о различных типах бесконечностей, мы должны понять, что такое бесконечность, а что нет.

Infinity — это концепция, а не число. Бесконечность можно найти с помощью математики, показывая, что что-то «не связано» и имеет больше элементов, чем конечное число, но это не может быть записано в виде числа. Когда мы говорим о «бесконечном числе», мы описываем иррациональное число. Мы не пишем иррациональные числа, мы приближаем их (используя символы типа e или Pi) или транспонируем их (например, √ 2 или 2 ¹ ⁄ ₂ ). [1] [2] ] [3] [4] [5]

Несмотря на то, что бесконечность является концепцией, а не числом, как уже отмечалось, она имеет множество реальных приложений в таких сферах, как вычисления, анализ, физика, геометрия и т. Д. (Где ее можно использовать для описания явлений реальной жизни).

Мы можем работать с бесконечностями в этих полях, имея дело с такими вещами, как исчисления, множества и пределы (см. Пример на khanacademy.org). Здесь мы можем взять иррациональные абстрактные концепции, связанные с бесконечностью, применить их к законам физического мира с помощью математики и достичь практических результатов (таких как округление чисел или определение ускорения).

ФАКТ : Наша физическая вселенная имеет «физические ограничения», такие как скорость света и планковская длина, и наша локальная Земля также имеет ограничения, такие как скорость свободного падения и конечная скорость.Эти пределы немного отличаются от «пределов» в исчислении, но они аналогичны и связаны, поскольку оба могут ссылаться на максимальное значение, которое может позволить нам в некоторой степени предсказать поведение бесконечностей.

ФАКТ : Сэр Исаак Ньютон (и некоторые другие) изобрели исчисление для вычисления таких вещей, как ускорение в физической вселенной, когда открыли механику современной физики. Чтобы точно определить скорость во времени, нужно работать с бесконечностями. Треугольник Паскаля работает и с бесконечностями, как и другие фракталы.Даже простой круг работает с бесконечностями (Пи — иррациональное число).

Какие существуют типы бесконечности?

Существует множество типов бесконечностей, и типы различаются по определению и контексту. Эта страница посвящена различным размерам счетных и несчетных бесконечных множеств, но сначала давайте поговорим немного шире.

Во-первых, говоря о «различных типах бесконечностей», мы можем говорить о различных типах бесконечных множеств (которыми мы обычно и являемся), таких как {…, -1, 0, 1, 2,…}, мы можем говорить о различные типы единичных иррациональных «чисел», таких как Пи, или мы могли бы говорить о разных типах функций (отношения между множествами; как функция для треугольника Серпинского).

Кроме того, мы можем использовать концепцию бесконечности для описания явлений реального мира, связанных с геометрией, географией, физикой, фракталами или даже более философскими концепциями, такими как природа истины (например, когда Гёдель выяснил, что не вся истина может быть познана, или когда Байес выяснил, что вероятность может быть использована для нахождения правдоподобных истин).

И реальный мир, и бесконечности на бумаге, как правило, можно описать с помощью функций, множеств и иррациональных чисел, и все они связаны с математикой.С этой точки зрения, для начала можно сказать, что существует два основных типа бесконечностей: счетные и несчетные (бесконечные множества). ^[2]

Эта общая дихотомия счетного и несчетного иллюстрирует тот факт, что существуют различные размеры счетных и несчетных бесконечных множеств: большие и маленькие бесконечности (мощности). В следующем разделе мы обсудим эти «разные размеры бесконечности».

СОВЕТ : Следующий веб-сайт «сколько существует видов бесконечности» и соответствующее видео, показанное ниже, вероятно, являются лучшим ресурсом по «различным типам бесконечности», так что см. Его для обзора.

Сколько существует видов бесконечности?

Счетное или бесчисленное — разные размеры бесконечности

• Есть счетные бесконечные строки, такие как целые числа, такие как 1, 2, 3 и т. Д.
• Существуют более крупные счетные строки, такие как целые и отрицательные числа, например -2, -1, 0, 1, 2 и т. Д.
• Существуют огромные дроби, такие как 1/2, 1/4, 2/4, 3/4 и т. Д.
• Есть бесконечные строки, например десятичные числа от 1 до 2.
• Если строка неисчислима, она «больше», чем если бы она была счетной.
• Есть также бесконечные расстояния между отрицательной бесконечностью и бесконечностью целых чисел, которые по умолчанию охватывают все остальные математические бесконечности.

Интересно рассмотреть детали. Ознакомьтесь с подходом Business Insider к различным размерам бесконечности, чтобы получить более подробную информацию.

Несмотря на то, что эти числа концептуально бесконечны, мы все же можем применить их к реальному миру («счетному» или нет), используя наши знания физики и математики.Многие формы, например круг, требуют иррациональных чисел. Фракталы, скорость света, круги, треугольники и многое другое могут нуждаться в концептуально бесконечных «числах» для вычисления. Ознакомьтесь с «простым» объяснением иррациональных чисел и физики от Duke.

Infinity больше, чем вы думаете — Numberphile.

ФАКТ : Как объясняется в видео ниже, на самом деле существует бесконечное количество различных размеров бесконечности.

Иерархия бесконечностей | Бесконечная серия | PBS Digital Studios?

Пример разрешения парадокса бесконечности

Некоторые парадоксы на бумаге на самом деле не парадоксы в физической вселенной.Ниже мы разрешаем парадокс Зенона (что между любыми двумя физическими объектами существует бесконечное пространство, и поэтому любое движение невозможно).

Это видео объясняет то же доказательство, которое мы приводим ниже, но на другом примере.

Парадокс Зенона: Зенон был неправ.

Разрешение парадокса Зенона

Парадокс Зенона гласит, что мы не можем добраться из точки A в точку B, потому что мы должны «сократить вдвое» бесконечное количество расстояний, чтобы достичь точки B.Мы на полпути к точке B; потом мы на полпути; затем мы снова получаем половину и т. д. На бумаге между A и B бесконечное пространство из-за того, как работают дроби.

Если я хлопаю в ладоши, двигая рукой к неподвижной руке, то согласно основам математики, чтобы мои руки собрались вместе, потребуется бесконечное время. У меня останется 1 полная дистанция; затем осталось 1/2 расстояния; затем осталось 1/4 расстояния; пр.

Если я двигаюсь в «кадрах», которые экспоненциально уменьшаются в пространстве и времени, я подхожу все ближе и ближе к месту назначения, но никогда не добираюсь туда.На бумаге это парадокс, но в реальной жизни все движется и достигает места назначения. Так как?

Есть разные способы решения парадокса, но один из них:

«В физике самая маленькая рамка — это длина« Планковская длина ». Квантовые частицы, такие как фотоны, существуют в состоянии «суперпозиции», что означает, что они квантуются в энергетические состояния при возбуждении. В противном случае они существуют одновременно в нескольких состояниях потенциальной энергии как волны. В реальной жизни вещи не должны «касаться», потому что электроны отталкиваются друг от друга (на расстоянии 10-8 метров) задолго до того, как они достигнут планковской длины.Базовая математика указывает на бесконечно малую строку расстояний между точками, но физика говорит, что хлопок в ладоши разрешится до того, как потребуется иметь дело с бесконечностью. Вы можете проследить эффекты массы и энергии, используя математику, такую ​​как исчисление. Некоторые из ваших расчетов создают бесконечные волны или потенциально бесконечные волны, которые замедляются, как звуковая волна.

Что такое парадокс дихотомии Зенона? — Колм Келлехер. Еще один взгляд на идею, что «любое движение невозможно».

СОВЕТ : Если что-то, имеющее качество бесконечности, выходит из одной точки, оно продолжается бесконечно в X направлениях. Если между двумя точками он бесконечен, то он простирается между этими двумя точками с «бесконечностью». Это работает по-разному в разных случаях, но мы можем думать о бесконечности между двумя точками в реальной жизни, как о достижении предела постоянной Планка, и о бесконечности от одной точки, достигающей пределов, таких как скорость света. Другими словами, правильно рассчитывать бесконечность как бесконечность, но при изменении предела она разрешается «скачкообразными кадрами»

Изучение исчислений, теории множеств и пределов — пояс инструментов Infinity

Чтобы разобраться с концепцией бесконечности математически, вам необходимо базовое понимание исчисления, теории множеств и пределов.Если хотите, воспользуйтесь этими видео ниже, чтобы заполнить пустые места. Следует помнить, что мы хотим применить их как к математике, так и к физике, чтобы получить полную картину.

Проще говоря, : Пределы — это максимальные и минимальные значения, наборы — это наборы чисел, которые можно использовать для создания функций, исчисление — это исследование изменений и использует наборы и ограничения в качестве инструментов. Если я хочу вычислить ускорение яблока в свободном падении, я могу использовать наборы и ограничения для создания функции, которая отображает ускорение на XY-диаграмме.

Лимиты. Они являются ключом к пониманию концепции бесконечности применительно к математике и физике.

Исчисление 1 Лекция 1.1: Введение в пределы.

Теория основных множеств.

ФАКТ : Сэр Исаак Ньютон, по сути, изобрел современное исчисление (или, по крайней мере, улучшил более ранние концепции) в возрасте 20 лет, чтобы помочь ему понять законы современной физики.Он открыл уравнение F = ma гравитации, и что движущиеся тела стремятся оставаться в движении. Он не собирался записывать расчеты или другие свои открытия, пока его друг Галлей (то есть комета Галлея) не предложил профинансировать проект Ньютона. Он сделал это предложение, когда Ньютон объяснил, что он может использовать свои вычисления, чтобы понять орбиту кометы. Сегодня у нас есть комета Галлея и Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica, , в котором Ньютон записал законы физики и многие концепции, ставшие предметом исчисления.

Список парадоксов бесконечности

Infinity не всегда создает парадоксы, которые можно было бы подумать, но парадоксов бесконечности существует множество. Обычно мы можем разрешить некоторые парадоксы, коренящиеся в концепции бесконечности, используя продвинутую математику (а именно, исчисление) или изучая физическую вселенную.

Некоторые парадоксы «реальны»; некоторые — просто игры для ума, ответы на которые уходят корнями в другие области; у некоторых есть ответы, которые в настоящее время выходят за рамки нашего понимания.Вот список парадоксов и некоторые похожие видео.

«Парадоксы бесконечности» — Numberphile. В этом видео представлены некоторые парадоксы бесконечности, которые, как вы увидите ниже, не являются парадоксами, если мы посмотрим на них с помощью различных типов математики и физики.

Ниже приведены парадоксы бесконечности и бесконечно малых величин из WikiPedia. Смотрите здесь неполный список парадоксов.

• Парадокс Бурали-Форти Если бы порядковые числа образовывали набор, это был бы порядковый номер, который меньше его самого.
• Парадокс Кантора Набор всех наборов будет иметь свою собственную мощность, установленную как подмножество; следовательно, его мощность будет не меньше, чем мощность набора. Но теорема Кантора доказывает, что наборы мощности строго больше, чем наборы, из которых они построены. Следовательно, набор всех наборов будет содержать подмножество большее, чем оно само.
• Парадокс Галилея Хотя большинство чисел не квадраты, чисел не больше, чем квадратов. (См. Также диагональный аргумент Кантора)
• Парадокс Гильберта в Гранд Отеле Если отель с бесконечно большим количеством номеров заполнен, он все равно может принять больше гостей.
• Парадокс Рассела Содержит ли набор всех тех множеств, которые не содержат самих себя?
• Парадокс Сколема Счетно бесконечные модели теории множеств содержат несчетное бесконечное множество.
• Парадоксы Зенона «Вы никогда не доберетесь до точки B из точки A, так как вы всегда должны пройти туда половину пути, половину половины, половину этой половины и так далее». (Это тоже физический парадокс.)
• Суперзадачи могут приводить к парадоксам, например,

• Парадокс Бенардете По-видимому, человека можно «заставить оставаться там, где он находится, просто из-за невыполненных намерений богов».
• Парадокс Росса – Литтлвуда После того, как можно бесконечно часто добавлять и убирать шарики в вазу, сколько шариков остается?
• Лампа Томсона После того, как лампа постоянно включается и выключается, включается она или выключается?

Странно, но правда: бесконечность бывает разных размеров

В фильме Pixar 1995 года « История игрушек» фанатичный космический фигурка Базз Лайтер без устали произносит свою крылатую фразу: «До бесконечности… и дальше!» Шутка, конечно, коренится в совершенно разумном предположении, что бесконечность — это непревзойденный абсолют, что нет запредельного.

Однако это предположение не совсем правильное. Как показал немецкий математик Георг Кантор в конце 19 века, существует множество бесконечностей, и некоторые из них просто больше, чем другие.

Возьмем, к примеру, так называемые натуральные числа: 1, 2, 3 и так далее. Эти числа не ограничены, поэтому набор или набор всех натуральных чисел бесконечен. Но насколько это бесконечно? Кантор использовал элегантный аргумент, чтобы показать, что натуральные числа, хотя и бесконечно многочисленны, на самом деле менее многочисленны, чем другое распространенное семейство чисел, «действительные числа».»(Этот набор включает все числа, которые могут быть представлены в виде десятичного числа, даже если это десятичное представление имеет бесконечную длину. Следовательно, 27 является действительным числом, как и π, или 3,14159….)

На самом деле, как показал Кантор, вещественных чисел, заключенных между нулем и единицей, больше, чем чисел во всем диапазоне натуральных чисел. Он сделал это логическим противоречием: он предполагает, что эти бесконечные множества имеют одинаковый размер, а затем выполняет ряд логических шагов, чтобы найти изъян, который подрывает это предположение.Он рассуждает, что натуральные числа и это подмножество действительных чисел, равное нулю к одному, имеющее одинаковое количество членов, подразумевает, что эти два набора могут быть поставлены во взаимно однозначное соответствие. То есть два набора могут быть объединены в пары, так что каждый элемент в каждом наборе имеет одного — и только одного — «партнера» в другом наборе.

Подумайте об этом так: даже при отсутствии числового счета для измерения относительных размеров можно использовать однозначные соответствия. Представьте себе два ящика неизвестных размеров: яблоки и апельсины.Таким образом, извлечение одного яблока и одного апельсина за раз объединяет два набора в пары яблоко-апельсин. Если содержимое двух ящиков опорожняется одновременно, их будет одинаково много; если один ящик исчерпывается раньше другого, то в контейнере с оставшимися фруктами больше.

Кантор, таким образом, предполагает, что натуральные и действительные числа от нуля до единицы были поставлены в такое соответствие. Таким образом, каждое натуральное число n имеет реального партнера r _n . Затем числа можно перечислить в порядке их соответствующих натуральных чисел: r ₁ , r ₂ , r ₃ , и так далее.

Затем начинает проявляться коварная сторона Кантора. Он создает действительное число, называемое p, , по следующему правилу: сделайте цифру n знаков после десятичной точки в p чем-нибудь, кроме цифры в том же десятичном разряде в r _n . Простой метод: выберите 3, когда рассматриваемая цифра равна 4; в противном случае выберите 4.

Для демонстрации, скажем, пара действительных чисел для натурального числа 1 ( r ₁ ) известна Теду Уильямсу.Среднее значение 400 ударов с 1941 (0,40570…), пара на 2 ( r ₂ ) — это доля Джорджа Буша в голосовании в 2000 году (0,47868…) и 3 ( r ₃ ) является десятичной составляющей числа π (0,14159…).

Теперь создайте p , следуя конструкции Кантора: цифра в первом десятичном разряде не должна быть равна цифре в первом десятичном разряде r ₁ , , которое равно 4. Следовательно, выберите 3, и p начинается с . 0.3…. Затем выберите цифру во втором десятичном разряде p , чтобы она не равнялась цифре второго десятичного разряда r ₂ , , которая равна 7 (выберите 4; p = 0,34…). Наконец, выберите цифру в третьем десятичном разряде p , чтобы она не равнялась цифре соответствующего десятичного разряда r ₃ , , которая равна 1 (снова выберите 4; p = 0,344…).

Продолжая вниз по списку, этот математический метод (называемый «диагонализацией») генерирует действительное число p между нулем и единицей, которое по своей конструкции отличается от каждого действительного числа в списке хотя бы одним десятичным знаком.Следовательно, его не может быть в списке.

Другими словами, p — это действительное число без натурального числа-партнера — яблоко без апельсина. Таким образом, взаимно однозначное соответствие между реальными и естественными не выполняется, поскольку существует просто слишком много реалов — их «бесчисленное множество», что делает реальную бесконечность в некотором роде большей, чем естественная бесконечность.

«Идея« быть больше, чем »была действительно прорывом», — говорит Стэнли Беррис, почетный профессор математики Университета Ватерлоо в Онтарио.«У вас была эта основная арифметика бесконечности, но никто не думал о классификации в бесконечности — до этого это был всего лишь один объект».

: математик Джозеф Милети из Дартмутского колледжа добавляет: «Когда я впервые услышал результат и впервые увидел его, это определенно потрясло меня. Это один из тех результатов, который краток, приятен и действительно, очень удивителен».

Сколько существует видов бесконечности?

Типы бесконечных чисел и некоторые вещи, к которым они применимы:

кардиналов (теория множеств, применяется к размерам ординалов, размерам гильбертовых пространств)
ординалам (теория множеств, используется для создания порядковых пространств и в порядковом анализе.Некоммутативные.)
числа Бета (такие как кардиналы или нет, в зависимости от материала гипотезы континуума)
гиперреальные числа (включая бесконечно малые числа, удобные для анализа, вычислительной геометрии)
сверхреальные числа (максимальные гиперреальные числа, аналогичные сюрреальным числам)
сверхъестественные числа (используется факторизация простых чисел) в теории поля)
Surreals (Лучшая и самая красивая вещь, максимальная система счисления, комбинаторная теория игр)
Surcomplex (сюрреалистическая версия комплексных чисел)
Infinity of Calculus (доводит вещи до пределов)
Infinity of Projective Geometry (1/0 = бесконечность, положительная бесконечность равна отрицательной бесконечности)
Бесконечное гильбертово пространство (может быть любым кардинальным числом измерений)
Реальная линия (бесконечная линия, состоящая из всех действительных чисел)
Длинная линия (длиннее реальной линии, в топологии)
Абсолютная бесконечность (противоречие, на самом деле не вещь)

Не бесконечные виды чисел:

P-адик (альтернатива действительным числам)

Натуральные числа (1, 2, 3…)
Целые числа (… -3, -2, -1, 0, 1, 2…)
Рациональные числа (1, 1/2, 2/1, 2/3, 3 / 2, 3/4, 4/3…)
Алгебраический (sqrt 2, золотое сечение, все, что вы можете получить с помощью алгебры)
Трансцендентальный (действительные числа, которые вы не можете получить с помощью какого-либо конечного количества алгебры, например, пи и е)
Реалы (всевозможные бесконечные последовательности цифр 0.