Menu
Разное Треугольники ру – Треугольники

Треугольники ру – Треугольники

Треугольники

Теорема (Птолемея)

Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений двух пар его противолежащих сторон.

Дано:

4-угольник ABCD вписан в окр. (O; R)

Доказать:

AC·BD=AB·CD+AD·BC

Доказательство:

Читать далее



Окружность, Четырехугольники

Утверждение

Если диагонали вписанного четырехугольника перпендикулярны, то сумма квадратов его противоположных сторон равна квадрату диаметра описанной окружности.

Дано:

окружность (O;d),

ABCD — вписанный четырёхугольник,

AC⊥BD

Доказать: AD² +BC² = d²

Доказательство:

Читать далее



Окружность, Четырехугольники

Утверждение 1

Если диагонали выпуклого четырехугольника взаимно перпендикулярны, то суммы квадратов его противолежащих сторон равны.

Дано: ABCD — выпуклый четырёхугольник,

AC⊥BD

Доказать:

AB²+CD²=AD²+BC²

Доказательство:

Читать далее



Четырехугольники

Утверждение

Если две медианы треугольника равны, то этот треугольник — равнобедренный.

Дано: ΔABC,

AF, BK — медианы,

AF=BK

Доказать: ΔABC — равнобедренный

Читать далее



Равнобедренный треугольник

Теорема (Штейнера-Лемуса)

Если в треугольнике две биссектрисы равны, то этот треугольник — равнобедренный.

Дано:

ΔABC,

AF, BK — биссектрисы ΔABC,

AF=BK

Доказать: ΔABC — равнобедренный

Доказательство:

Читать далее



Равнобедренный треугольник

Длина биссектрисы треугольника может быть найдена разными способами, в зависимости от исходных данных.

I. Через длины двух сторон и отрезки, на которые биссектриса делит третью сторону.

Утверждение 1

Квадрат биссектрисы треугольника равен разности между произведением двух его сторон и произведением отрезков, на которые эта биссектриса делит третью сторону.

Соответственно, длина биссектрисы равна квадратному корню из разности между произведением двух его сторон и произведением отрезков, на которые эта биссектриса делит третью сторону.

Читать далее



Элементы треугольника

Задача

В равнобедренную трапецию, периметр которой 220, а площадь равна 2420, можно вписать окружность.

Найти расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

Дано: ABCD — трапеция,

AD || BC, AB=CD,

PABCD=220, SABCD=2420,

AC∩BC=F, FK⊥BC

Найти: FK

Читать далее



Трапеция

www.treugolniki.ru

Виды треугольников | Треугольники

В зависимости от величин углов и соотношения длин сторон различают следующие виды треугольников.

Виды треугольников по углам:

  • остроугольные
  • прямоугольные
  • тупоугольные

 

 

Остроугольный треугольник — это треугольник, все углы которого острые (то есть градусная мера каждого угла меньше 90º).

 

 

 

Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один угол прямой (то есть имеет градусную меру 90º).

 

 

 

 

Тупоугольный треугольник — это треугольник, у которого один угол — тупой (то есть имеет градусную меру больше 90º).

 

 

Виды треугольников по сторонам:

  • равносторонние
  • равнобедренные
  • разносторонние

 

 

Равносторонний треугольник (или правильный треугольник) — это треугольник, у которого все три стороны равны.

 

 

 

 

Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две стороны равны.

 

 

 

 

Разносторонний треугольник — треугольник, все стороны которого имеют разную длину.

 

 

Если в задаче ничего не сказано о виде треугольника, его считают произвольным, то есть разносторонним.

Отрезки равной длины на чертеже отмечают равным количеством черточек:

разносторонний треугольник

равносторонний треугольник

равнобедренный треугольник

www.treugolniki.ru

Треугольники – Part 3

Как составить уравнение описанной около треугольника окружности по координатам его вершин? Как найти координаты центра описанной окружности? Как найти радиус описанной окружности, зная координаты вершин треугольника?

Решение всех этих задач сводится к одной — написать уравнение окружности, проходящей через три данные точки. Для этого достаточно подставить координаты точек (вершин треугольника) в уравнение окружности. Получим систему из трёх уравнений с тремя неизвестными: координатами центра и радиусом окружности.

Задача.

Составить уравнение описанной окружности для треугольника с вершинами в точках A(2;1), B(6;3), C(9;2).

Читать далее



Декартовы координаты на плоскости

Если сторона треугольника равна радиусу описанной окружности, то что можно сказать о свойствах такого треугольника?

Читать далее



Разное о треугольниках

Как найти уравнение окружности, симметричной данной?

Симметричные окружности имеют равные радиусы. Следовательно, остаётся найти координаты центра симметричной окружности (как точки, симметричной данной).

Примеры.

1) Окружность задана уравнением (x-3)²+(y+2)²=16. Составить уравнение окружности, симметричной данной относительно точки (7; 10).

Читать далее



Декартовы координаты на плоскости

Выясним, как связаны между собой координаты симметричных точек и рассмотрим на примерах, как найти координаты точки, симметричной данной точке.

Читать далее



Декартовы координаты на плоскости

Как найти точку пересечения биссектрис треугольника по координатам его вершин?

Как найти радиус вписанной в треугольник окружности по координатам его вершин?

Точка пересечения биссектрис треугольника является центром вписанной в этот треугольник окружности.

Эта точка равноудалена от сторон треугольника. Расстояние от точки пересечения биссектрис до сторон треугольника равно радиусу вписанной окружности.

Следовательно, все три задачи сводятся к нахождению точки пересечения биссектрис треугольника.

Читать далее



Декартовы координаты на плоскости

Буквы греческого алфавита в геометрии используются для обозначения плоскостей, величин углов и в некоторых других случаях.

Поскольку греческий алфавит школьникам незнаком, написание и прочтение букв греческого алфавита вызывает у них вопросы.

Читать далее



Разное о треугольниках

В геометрии для обозначения точек, отрезков, прямых, лучей, треугольников и других геометрических фигур принято использовать буквы латинского алфавита.

Латинский алфавит известен ученикам из уроков английского (или другого иностранного)  языка.

Однако прочтение букв латинского алфавита, используемых в геометрии, отличается от прочтения букв английского алфавита.

Читать далее



Разное о треугольниках

www.treugolniki.ru

Треугольники – Part 2

Задача

Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K.

Найти площадь параллелограмма, если BC=19,  а расстояние от точки K до стороны AB равно 10.

Дано: ABCD — параллелограмм,

AK, BK — биссектрисы углов BAD и ABC,

AK∩BK=K, KF⊥AB,

KF=10, BC=19

Найти: SABCD

Читать далее



Параллелограмм

Задача

В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 8.

Найти стороны треугольника ABC.

Дано: ΔABC,

AD — медиана, BE — биссектриса,

AD=BE=8, AD⊥BE

Найти: AB, BC, AC

Читать далее



Решение треугольников

Задача

Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно16 и 34, а основание BC равно 2. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB.Найти площадь трапеции.

Дано: ABCD — трапеция, AD || BC, BC=2,

AB=16, CD=34, DF — биссектриса ∠ADC, F — середина AB

Найти: SABCD

Решение:

Читать далее



Трапеция

Задача

На стороне BC остроугольного треугольника ABC (AB≠BC) как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке M, AD=49, MD=42, H — точка пересечения высот треугольника ABC.

Найти AH.

Читать далее



Подобие треугольников

Задача

В треугольнике ABC известны длины сторон AB=28, AC=56,  точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC. Прямая BD, перпендикулярная прямой AO, пересекает сторону AC в точке D. Найти CD.

Читать далее



Подобие треугольников

Задача

В треугольнике ABC биссектриса угла A делит высоту, проведённую из вершины B, в отношении 5:4, считая от точки B. Найти радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если BC=12.

Решение:

Пусть биссектриса угла A пересекает высоту BD треугольника ABC в точке F.

По условию, BF:FD=5:4.

Рассмотрим треугольник ABD, ∠ADB=90°.

Читать далее



Элементы треугольника

Задача

Биссектриса CM треугольника ABC делит сторону AB на отрезки AM=5 и MB=10. Касательная к описанной окружности треугольника ABC, проходящая через точку C, пересекает прямую AB в точке D. Найти CD.

Дано: ΔABC вписан в окр.(O;R),

CM — биссектриса ∠ACB, CD — касательная к окр.(O;R),

AM=5, MB=10, CD∩AB=D

Найти: CD

Читать далее



Решение треугольников

www.treugolniki.ru

Треугольники – Part 51

Решение задач на углы параллелограмма опирается на свойства параллелограмма. Читать далее



Параллелограмм

Как доказать, что четырехугольник — параллелограмм? Для этого можно использовать определение либо один из признаков параллелограмма. Читать далее



Параллелограмм

Перечислим основные признаки параллелограмма.

1-й признак параллелограмма.

Если диагонали четырехугольника пересекаются и в точке пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм. Читать далее



Параллелограмм

Теорема (3-й признак параллелограмма).

Если противоположные стороны четырехугольника попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм. Читать далее



Параллелограмм

Теорема (2-й признак параллелограмма).

Если две стороны четырехугольника параллельны и равны, то этот четырехугольник — параллелограмм. Читать далее



Параллелограмм

Чтобы по сторонам треугольника найти его углы, нужно применить теорему косинусов. Читать далее



Теорема косинусов

Следствие теоремы синусов

Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной около этого треугольника окружности:

   

Читать далее



Решение треугольников

www.treugolniki.ru

Треугольники – Part 13

Теорема

(Признак равенства прямоугольных треугольников по двум катетам)

Если два катета одного прямоугольного треугольника соответственно равны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Читать далее



Прямоугольный треугольник, Равные треугольники

Теорема

(Третий признак равенства треугольников — по трём сторонам)

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Читать далее



Равные треугольники

Теорема

(Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим к ней углам)

Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника соответственно равны стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника то такие треугольники равны.

Читать далее



Равные треугольники

Теорема

(Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними)

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Читать далее



Равные треугольники

Если окружность задана уравнением вида

   

найти центр (a;b) и радиус R такой окружности несложно.

Примеры. Читать далее



Декартовы координаты на плоскости

Чем окружность с центром в начале координат отличается от других окружностей? Читать далее



Декартовы координаты на плоскости

Рассмотрим некоторые примеры, в которых требуется написать уравнение окружности по заданным условиям.

1) Написать уравнение окружности с центром в точке K(5;-1) и радиусом 7.

Читать далее



Декартовы координаты на плоскости

www.treugolniki.ru

Треугольники – Part 4

Задача

В треугольнике ABC на его медиане BM отмечена точка K так, то BK:KM=4:1. Прямая AK пересекает сторону BC в точке P. Найти отношение площади треугольника ABK к площади четырёхугольника KPCM.

Решение:

Читать далее



Площади фигур

Как найти площадь трапеции по известным диагоналям и средней линии?

Дано: ABCD, AD∥BC,

MN — средняя линия трапеции,

AC=d1, BD=d2, MN=m.

Найти: SABCD.

Читать далее



Площадь трапеции

Утверждение

Отрезок средней линии трапеции, расположенный между её диагоналями, равен полуразности оснований трапеции.

 

Дано:  ABCD — трапеция, AD∥BC,

MN — средняя линия трапеции ABCD,

AC∩MN= P, BD∩MN=K

Доказать:

   

Читать далее



Трапеция

Как найти угол между биссектрисами треугольника?

Задача.

В треугольнике ABC угол C равен α, AD и BE — биссектрисы, пересекающиеся в точке O.

Найти угол AOB.

Решение:

1) Так как сумма углов треугольника равна 180°, то в треугольнике ABC

∠BAC+∠ABC+∠C=180°, отсюда

∠BAC+∠ABC=180°-∠C,

∠BAC+∠ABC=180°-α.

Читать далее



Элементы треугольника

Рассмотрим задачи, в которых изображён круг на клетчатой бумаге и требуется по известной площади круга найти площадь заштрихованного сектора либо найти площадь круга по данному значению площади сектора.

Для решения обеих задач надо определить величину соответствующего ему центрального угла.

Читать далее



Рисунки на клетчатой бумаге

Рассмотрим углы в окружности и углы, связанные с окружностью.

  • Угол с вершиной в центре окружности.
  • Угол с вершиной на окружности (его стороны пересекают окружность).
  • Угол с вершиной внутри окружности (не в центре).
  • Угол с вершиной вне окружности, стороны которого пересекают окружность.

Читать далее



Окружность

Утверждение

Угол между секущими, пересекающимися вне окружности, измеряется полуразностью большей и меньшей дуг, заключенных между его сторонами.

 

Доказать:

   

Читать далее



Окружность

www.treugolniki.ru

Отправить ответ

avatar
  Подписаться  
Уведомление о