Эскизы геометрия: Тату геометрия в каталоге Drawinks 3742 фото, значение

эскизы (фигуры и животные), идеи, советы

Содержание статьи

Многие люди предпочитают оригинальные нательные рисунки, у которых нет аналогов. Благодаря этому желанию и появилось направление тату геометрия. Художник создает индивидуальный и неповторимый рисунок, сочетая различные геометрические орнаменты и фигуры.

В основном подобное изображение носит исключительно декоративный характер и не таит в себе никакого особенного смысла. Иногда человек желает преобразить важный для него образ или символ в геометрический шедевр. В таком случае татуировка наделяется значением исходного рисунка.

Особенности и преимущества стиля

Геометрические татуировки – это достаточно новое направление в искусстве тату. Именно поэтому подобные изображения смотрятся эффектно и свежо. Обычно композиция представляет собой сочетание различных объектов геометрии – правильных фигур, точек, векторов и линий.

Профессиональные мастера готовы преобразить любой желаемый образ в оригинальное сочетание. Это может быть изображение животного, растения, портрет, знак зодиака или целая картина в стиле тату геометрия.

Несомненным преимуществом тату в стиле геометрия является то, что его значение и философский подтекст известны только владельцу. Это придает ему некоторую загадочность и вызывает интерес окружающих.

Основополагающие принципы татуировки в стиле геометрия – идеальные пропорции и совершенство линий. Перед тем как обратиться к тому или иному мастеру, надо тщательно ознакомиться с его портфолио и убедиться в том, что он имеет достаточный опыт работы в этой области. Ведь каждое неверное движение может испортить блестящую задумку.

Основные виды геометрических изображений

В последнее время татуировки геометрия стали очень популярными. Подобные тату наносят многие люди, независимо от пола и возраста. Их принято делить на несколько групп.

1. Двухмерный рисунок, представляющий собой плоское изображение без передачи объема. Это может быть абстрактная композиция, орнамент, мандала, портрет человека, изображение животных.
2. Трехмерный рисунок, основанный на сочетании сложных геометрических фигур и градиентных переходах в тонах. Визуальные эффекты, создаваемые такой татуировкой, просто не позволят вам скрывать ее под одеждой, поэтому лучше выбрать для нее открытый участок тела. Популярностью у поклонников стиля пользуются тату с применением иллюзии движения. Здесь применимы приемы обмана зрения или мозга.
3. Комбинированный рисунок, сочетающий в себе реалистичность трехмерного тату-изображения, которое плавно переходит в плоскостной эскиз.

Использование цвета в геометрическом стиле

Выбор цветового решения зависит от индивидуальных предпочтений заказчика, общей концепции и значения тату геометрия. Такие татуировки могут быть и цветными, и черно-белыми.

Тату, выполненные в черном цвете, отличаются четкостью и графичностью. Это позволяет акцентировать внимание на отдельных деталях. Маленькие по размеру рисунки чаще делают именно в таком варианте исполнения.

Однако геометрические двухмерные композиции, абстракции и мандалы будут интереснее смотреться в цветном исполнении. Интересно, что именно геометрия иногда помогает выразить свой внутренний мир.

Трехмерные и комбинированные изображения смотрятся одинаково хорошо как в монохромном, так и в цветном варианте. Здесь стоит руководствоваться индивидуальным вкусом.

Сакральная тематика редко скрыта в тату геометрия, но если все-таки человек желает выразить свои религиозные или философские взгляды в этом стиле, то необходимо учесть, в какой цветовой гамме обычно выполняют исходные символы и каким значением наделяется каждый тон.

Выбор места

Определяющими факторами при выборе места для нанесения тату являются его размер и форма. Например, большое по объему изображение целесообразно наносить на спину или предплечье. Маленькая же татуировка в стиле геометрия поместится везде – и за ухом, и, например, на пальце.

Женщины предпочитают наносить тату скромных размеров, которые гармонично смотрятся на запястье, щиколотке или шее. В сети Интернет без труда можно найти примеры и фото тату в стиле геометрия и на их основе создать собственное интересное изображение, которое будет в полной мере отображать сущность владельца.

Видео о стилях тату

Фото тату в геометрии

Эскизы

Оценка статьи:

Загрузка…

Поделиться с друзьями:

Смотрите также

Тату спина девушки эскизы геометрия

Геометрические татуировки – последнее направление в данной культуре. Нательные рисунки постоянно эволюционируют. Работы тату-мастеров, выполненные в геометрическом стиле, очень креативные и смотрятся впечатляюще. Причем для профессионалов создать геометрический эскиз абсолютно не составляет труда. Базовых знаний со школьной программы по геометрии вполне достаточно. Игру линий и фигур несложно создать, а вот наносить такой эскиз нужно только опытному мастеру. Одно неловкое движение – и рисунок испорчен.

Тату геометрия в двухмерном пространстве

Геометрические рисунки мы видели еще в виде наскальных изображений. Многие геометрические фигуры несут в себе тайный смысл, собственно, как и все прочие линии. Значение многих геометрических тату трактуется как уравновешенность, целеустремленность. Многие линии на теле пересекаются, создавая необычайно красивые композиции. Значение тату геометрия трактуется в зависимости от того, с каким изображением скомбинированы линии. Больше всего на практике встречаются татуировки, выполненные в двухмерном пространстве. Очень часто в таких видах основная композиция как бы заключается в рамки геометрической фигуры и все действие происходит внутри.

3D тату геометрия: необычные эскизы для девушек

Чтобы изображение на теле было трехмерным, мастера используют всевозможные варианты линий, которые необычным образом комбинируются с геометрическими фигурами. 3D тату геометрия очень красочно выражает внутренний настрой и эмоциональное состояние. Такие варианты татуировок замечательным образом подчеркивают черты характера девушки. Они могут быть масштабные или совсем маленькими, хотя мини татуировки геометрия в технике 3D смотрятся не очень привлекательно. Большие композиции с геометрическими формами дают возможность мастеру проработать над каждой деталью до миллиметра. Оригинальные необычные эскизы в технике 3D важно расположить на правильном месте. Насколько бы привлекательно не смотрелась 3D тату геометрия, но она все же сможет визуально испортить пропорции женской фигуры.

Миниатюрные тату геометрия

Кропотливая работа мастера в мини тату геометрия может не быть недооценена. Хотя такие маленькие татуировки очень интересно смотрятся на женском теле. Аккуратные и чисто символические отметки на теле выполняются не только в черном цвете, но и с использованием всевозможных оттенков. Чаще всего в качестве основных геометрических татуировок используются точки и прямые линии. Но творческие и позитивные личности изображают всевозможных человечков, которые можно принять за рисунок ребенка в детском садике.

Тату геометрия: потрясающие и эффектные варианты изображений на теле животных

На публичных страничках в популярных социальных сетях существует масса групп, в которых девушки хвастаются потрясающими изображения животных в геометрическом стиле. Такие варианты больше смахивают на технику минимализма. Поскольку, кроме линий, в них нет ничего необычного. Но тем ни менее это не делает их плохими. Необычные лесные существа украшают женское тело в технике геометрия. Смысловая составляющая таких уникальных татуировок раскрывается в выборе животного, который выполнен геометрическими линиями.

Тема абстракции в тату геометрия

Невероятно смотрятся мотивы в стиле абстракция, выполненные геометрическими фигурами. Специфическая нательная роспись стала очень популярной среди молодых девушек. Некоторые просят тату-мастера выполнить акварельные мазки, а кто-то просит изобразить целую «вышиванку». В данном случае очень весомое значение имеет выбранный цвет для геометрической татуировки. Все композиции с геометрической абстракцией довольно непонятны и потому нужно хорошо присмотреться к эскизу, чтобы вникнуть в их суть.

Цветные тату геометрия — 2018

В 2018 году востребованы не только черные геометрические татуировки, но и цветные. Они смотрятся более привлекательно. На зависть многим соперницам, девушка, сделавшая себе цветную наколку с геометрическими линиями, будет привлекать взгляды многих мужчин. Многие представители сильного пола критикуют девушек за их желание сделать геометрическую татуировку, поскольку считают ее специфической и неподходящей. Но профессиональные татуировщики справляются с задачей придания геометрическим татуировкам женственности и неотразимой сексуальности.

Тату геометрия: сюжеты для женских вариантов нательной росписи

В качестве сюжета для геометрических татуировок девушки стараются выбирать менее агрессивные эскизы. Очень часто геометрические татуировки носят положительный характер. Девушки отдают предпочтение рисункам с природными явлениями, геометрическими пересечениями и изображениям, напрямую относящиеся к ним самим, например, девушка с кошкой или мама с ребенком.

Выбор места на теле для нанесения тату геометрия: женские прерогативы

Женщины, выбирая место для нанесения геометрических татуировок, полагаются только на свои личные предпочтения. Многие украшают запястье и лодыжки, а кто-то выбирает область лопатки или ягодицы. Не только по рисунку, но и по месту расположения можно определить характер обладательницы. Если тату геометрия наносится в области головы, то женщина на подсознательном уровне пытается показать то, что в ней есть скрытый потенциал в какой-то области. Татуировки на шее демонстрируют силу воли и другие уникальные особенности. Тату геометрия на руках символизирует женское стремление к самовыражению. Геометрические наколки в области груди бросают вызов всему окружающему. Все изображения в районе живота открыто заявляют о замкнутости, а на спине – о доминировании.

Если в точных науках геометрия существует со своими строжайшими законами, формулами и правилами, то в искусстве – это самый настоящий творческий подход и откровенный полет фантазий. Главное правильно выбрать место размещения тату геометрия. Если вы сомневаетесь в своем выборе, то обязательно проконсультируйтесь с профессиональным мастером тату, который обязательно подскажет самые выигрышные варианты.

Тату Геометрия сегодня считается одним из самых прогрессивных и трендовых стилей. Благодаря своему разнообразию и широкому спектру сюжетов он полюбился многим мастерам и знатокам искусства татуировки. Геометрические тату всегда выглядят необычно и неизбито, хотя могут быть выполнены как максимально просто (квадрат или треугольник), так и с использованием очень сложных геометрических орнаментов и узоров.

Содержание:

Значение Геометрических Тату

Тату Треугольник

Треугольник имеет не одно значение в самых разных культурах. Треугольник имеет сакральный смысл в древних цивилизациях. Рассмотрим основные значения татуировки с треугольником:

• Символ стихии огня ( в прямом положении)
• Символ воды (в перевернутом положении)
• Созидательная творческая сила, божественное начало
• Триединство, тройственность
• Триады духовной воли, любви и высшего разума человека
• Треугольник, который вписан в окружность, означает мир форм, заключенный в круге вечности. Философ Плутарх называл эту геометрическую форму пространство равниной истины, на которой расположены образы всего, что было и будет.
• В буддийской традиции два смыкающихся треугольника олицетворяют чистое пламя и Три Драгоценности Будды.

Тату Круг

Круг также подвергается множеству толкований:

• Бесконечность, совершенство, законченность
• Время, движение времени, цикличность
• Символ солнца, вращения небесного тела по оси
• В буддизме круг олицетворяет просветление
• Магическая защита, оберег

Тату Квадрат

Среди толкований Квадрата можно найти самые разнообразные варианты, связанные с древними верованиями, философией и математикой:

• Равенство, прямота, порядок
• Истина, справедливость и мудрость
• В психологическом смысле квадрат ассоциируется с прочностью и устойчивостью. Это образ стабильной структуры, статической целостности.
• Квадрат воплощает основную модель структурирования мира, в элементарном (четыре стихии), в пространственном (четыре стороны света), во временном (четыре времени года, стадии человеческой жизни и эпохи человечества).

Тату Шар

Шар означает глобальность мира, планету, мироздание. На эмблемах уровне шар — это символ высшего промысла, провидения, вечности, а также символ могущества правителей. Означает устойчивость земного счастья. Шар — один из атрибутов царской власти.

Тату Трикветр

Древний языческий символ, особенно популярный среди викингов и кельтов. Трикветр (или триквестр) олицетворял движения небесных тел, божественное начало. В мифологии связан с богом Тором.

Тату Геометрические Орнаменты и Абстракции

Татуировки с использованием геометрических фигур и тел могут трактоваться абсолютно любым образом, без отсылок к их мифологическим либо философским значениям. Геометрические узоры, абстрактные картины из различных форм завораживают своей точность, красотой линий, визуальными эффектами. В современном искусстве татуировки не обязательно искать какое-либо сложные смысловые посылы. Можно сделать так называемое «тату ради тату», создав при этом сложны и красивый узор, который нравится вам.

Геометрия — №1 в тату эскизах | Рисуем на заказ | Фото галерея 10GB

Геометрия — №1 в тату эскизах | Рисуем на заказ | Фото галерея 10GB | Идеи татуировок

⇧

⇩

• ЛЕНТА
• ЭСКИЗЫ
• ФОТО ТАТУ
• ТАТУИРОВКИ
• ГРУППА VK
• МУЗЫКА
• ВИДЕО
• КОНТАКТЫ
• ЗАКАЗАТЬ ЭСКИЗ

Home / Albums / Геометрия

• 
  Предыдущий
• /
• 
  Тату эскизы
• /
• 
  Следующий

Эскиз. Работа с конструктивными элементами

При использовании любого подхода моделирования, синхронного или на основе истории построения, в основе базового тела обычно лежит эскиз. В особенности это касается призматических деталей. Но по большей части, на этом сходство двух подходов моделирования и заканчивается. Если конструктивный элемент на основе истории построения навсегда привязан к своему эскизу, то для синхронного элемента, после его перехода в мир 3D, исходный эскиз можно легко удалить. В синхронном режиме такие элементы, как примитивы (параллелепипед или цилиндр), даже не оставляют исходный эскиз в Навигаторе.

Так в чем же состоят проблемы конструктивных элементов на основе эскизов? Причин множество.

1. Если удалить эскиз, то модель или элемент, в основе которого он лежит, попросту рушится. Но что если кто-то захочет удалить эскиз? Будет ли 3D-геометрия самостоятельной и самодостаточной? На самом деле, словно кукловод за кулисами, эскизы тянут за ниточки, за которыми неизбежно следуют конструктивные элементы и модель в целом.

Посмотрите на модель топливного бака на рисунке. Ее поддерживающие элементы выглядят словно комок базовых плоскостей, осей, размеров и эскизов, некоторые из которых полностью определены. Представьте себе здание, которое постоянно поддерживается подмостками. Полное определение эскиза необходимо для успешного проведения изменений, но результат этих изменений, к сожалению, не всегда предсказуем.

Высокая цена эскизов состоит в том, что в них необходимо заложить как размерные, так и геометрические ограничения, связывающие множество элементов в единую модель. При этом вся информация об эскизах также должна сохраняться в модели.

Синхронная 3D-модель является полностью самостоятельной. Правила поведения геометрии в режиме реального времени автоматически применяют те или иные связи, в зависимости от выбранных элементов и активных настроек. Такой способ работы позволяет более гибко поддерживать или изменять конструктивный замысел. В большинстве случаев, синхронная технология позволяет извлекать и изменять размеры того или иного элемента, когда это необходимо.

2. При традиционном подходе моделирования, параметрические модели управляются размерами, которые привязаны к эскизам. Перестроение модели зависит от того, насколько успешно обновляются эскизы. Кроме того, при операциях прямого редактирования дополнительные элементы накладываются на существующие, при этом базовые элементы не знают о надстроенных на них операциях прямого редактирования. Таким образом, может случиться, что на один конструктивный элемент влияет два или больше размера. Параметрическое управление таких моделей становится неясным или вовсе невозможным.

В синхронном режиме все параметры элемента собраны в едином источнике, что обеспечивает более надежное и предсказуемое перестроение модели. В синхронной модели размеры с эскиза могут автоматически поглотиться 3D-элементом, в отличие от размеров при моделировании на основе истории построения.

3. Когда приходится изменять конструктивный элемент на основе эскиза, видимость результатов этих изменений ограничена. Редактирование этого элемента, т.е. редактирование его эскиза, влияет на следующие ниже по иерархии элементы, но сразу увидеть результаты этих изменений нельзя. Кроме того, для позиционирования элементов нельзя использовать те элементы, которые были созданы позже. При построении модели с элементами на основе эскизов, ваши идеи об изначальной 3D-геометрии схлопываются в плоскость, что заставляет рассуждать лишь в режиме 2D.

В синхронном режиме эскизы и их размеры не влияют на поглотившие их конструктивные элементы и на любые элементы, созданные позже.

В синхронной модели, показанной на рисунке, размер присоединен непосредственно к 3D-геометрии элементов, созданных в разное время. Порядок их создания не играет роли при изменении размера. С помощью стрелок можно задать направление изменения, т.е. выбрать элемент, который будет перемещаться при изменении размера.

В синхронном режиме эскизы управляются автоматически. После того, как на основе эскиза создан элемент, он переходит в раздел Использованные эскизы Навигатора. Обратите внимание, что:

1. При создании эскиз добавляется в раздел Эскизы Навигатора.
2. Вся плоская геометрия, созданная на одной плоской грани или базовой плоскости, объединяется в один эскиз. Соответственно, геометрия на двух разных гранях образует два эскиза.
3. Если вы создаете эскиз на другой грани, в Навигатор добавляется новый эскиз.

Также обратите внимание на следующие особенности поведения синхронных эскизов в обычной среде:

1. Размеры синхронного эскиза не мигрируют на обычные конструктивные элементы.
2. Синхронные эскизы не переходят в раздел Использованные эскизы после создания обычных конструктивных элементов.
3. Синхронные эскизы могут управлять обычными элементами, и они видимы в среде обычной модели.
4. Синхронные эскизы можно перемещать с помощью рулевого колеса. Перемещается весь эскиз, а не его элементы по отдельности.

Если геометрия эскиза образует замкнутую область, то эта область становится полупрозрачной. Ее можно воспринимать как 3D-элемент нулевой толщины, которому эту толщину нужно придать.

Когда мы говорим о моделировании на основе истории построения, мы обычно подразумеваем конструктивные элементы и зависимости между ними, необходимые для построения модели. Но мы часто упускаем из виду, что основой элементов и причиной возможных ошибок модели являются эскизы. Если вам все же необходимо работать с 3D-моделью, изменяя свойства и размеры ее сечений, Solid Edge® предлагает еще одну примечательную особенность – динамические сечения, о которых было рассказано в одной из предыдущих статей.

Тату геометрия на руку. Эскизы для девушек, мужские, цветные, черно-белые

Нательная живопись в стиле геометрия – популярное течение в искусстве современного тату. Эскизы на руках отличаются неповторимыми сюжетами и оригинальными решениями.

Особенности и преимущества стиля

В основе стиля используются линии, которые переплетаются и соединяются в единый угловатый сюжет. Мастер – профессионал сможет сделать в стиле геометрия любой рисунок. Чаще всего это лилия, роза, волк, лиса, сокол, причудливый орнамент.

К особенности стиля относят отсутствие жестких правил. Любая картинка допускает изменения, дополнения. Геометрические линии и фигуры разрешено совмещать с другими рисунками. Возможно двухмерное, трехмерное, комбинированное изображение. Однако, само нанесение нуждается в точности и ювелирной работе. Незначительная ошибка, неровность контура могут испортить вид эскиза.

Данный стиль выбирают оригинальные, креативные люди. И мастер салона красоты создает уникальный, неповторимый рисунок. Часто изображение не имеет определенного смысла или подтекста. Но нередко посетители хотят носить на теле особенный орнамент, символ, знак. Это является преимуществом геометрического стиля. Загадочные, сакральные эскизы вызывают интригу, интерес, любопытство. Выглядит тату геометрия модно, помогает владельцу выразить индивидуальность.

Стиль постоянно меняется, развивается. Появляются оригинальные эскизы. Большинство из них считают общими, уместными для лиц любого пола. Отличия состоят в толщине линий, специфике сюжетов и размерах наколки.

Значение

Сегодня распространенность татуировок объясняют тем, что многим нравится быть яркими, особенными, непохожими на окружающих. С античной эпохи каждый символ хранит обрядовый смысл и характер. Веками люди создавали орнаменты, привлекающие здоровье, удачу, богатство.

Поэтому, перед нанесением рисунка, рекомендуют узнать значение тату, чтобы избежать неприятных ситуаций:

• Треугольник – самая популярная фигура. Несет обрядовый смысл, символ единения 3 компонентов существования человека: тела, души и разума. Важно положение треугольника на теле. Если фигура изображена прямо, она символизирует огонь. Перевернутый треугольник означает воду. Треугольник в окружности олицетворяет вечность, философию небытия. Татуировки в виде треугольника универсальны. Для прекрасной половины человечества они означают девичью молодость, радость материнства, достойную старость. Для мужчин – рассудительность, мощь, бесстрашие.

• Круг – символ бесконечности, баланса, стабильности. Солнечный и лунный диски, часы, материк Земля, цикличность жизни — имеют вид круга. Поэтому круги в тату считают смыслом существования, вечности, гармонии, общения. Распространенный эскиз: планеты луна и солнце в одном сюжете. Такое объединение символизирует прочный брачный союз, верность, материнское счастье, защиту от невзгод.

• Квадрат – означает упорядоченность модели мира: 4 стихии, 4 стороны света, 4 времени года, 4 периода жизни человека. Кроме этого, квадрат олицетворяет прочность, устойчивость, мудрость, равновесие. В странах Востока фигура говорит о материальном достатке, твердости духа, стабильности.

• Шар – ассоциируют с изображением планет, бесконечностью мироздания. Он символизирует могущество, власть, вечность, мирную жизнь. В тату фигура шара означает гармонию, бессмертие, мир, устойчивость счастья на Земле.

• Трикветр – символ магии, возникший в Скандинавии. Был популярен у кельтов и викингов. Олицетворял небесные планеты и могущество богов. Перед нанесение на тело рекомендуют изучить значение трикветра. Его углы символизируют рассвет, закат, зенит. Означают цикличность жизни, духовный рост и мудрость человека. Владельцы тату-трикветров уверены в бессмертии человеческой души. Они принимают смерть, как начало другой жизни, в облике нового человека или животного.

• Орнамент – символизируют отношение к окружающему миру. Рассказывает о самом человеке, его характере, стремлениях, планах. Элементы, линии, в набросках орнамента часто повторяются. Данный стиль предполагает возможность изменения готовых эскизов. Популярен линейный орнамент, нанесенный на правое плечо. Означает желание владельца показать свои мысли. Наколка на левой руке говорит о стремлении человека решить свои проблемы.

• Абстракция – рисунками этого стиля выражают переживания, чувства, духовный мир. Здесь нет строгих, упорядоченных знаков и символов. Это колоритные, живописные картинки. Привлекают своей непонятностью, запутанностью линий, сложными узорами, визуальностью.

Все символы несут определенное значение, энергетику, смысл. Желательно выбрать тату с положительным, добрым значением. Это обезопасит от негативных последствий.

Использование цвета

Тату геометрия (эскизы на руку отличаются большим разнообразием) выполняется в различных цветовых гаммах и сочетаниях:

• Цветовые эффекты: выбирают креативные, смелые люди. Сюжеты имитируют живопись яркими красками или графику на компьютере. Салоны предлагают 2 вида эффектов – акварель и деграде. В первом случае малозаметные цветные линии и пятна выходят за контур наколки. Создают впечатление мазков кистью. Во втором – заметны переходы от светлой краски к более темной – постепенные, не ярко выраженные. Задействованы интенсивные, насыщенные цвета. Перетекания тонов делают картинки сверкающими, светящимися.

• Наколки на белом фоне: выражают индивидуальность человека. Эскиз черного цвета мастер размещает на светлом фоне. Тату смотрится органично и четко. Фон позволяет делать акцент на мелкие детали, точно накалывать линии, геометрические фигуры. Черно-белый татуаж несет глубокую смысловую нагрузку и значение. Двухмерные изображения часто выполняют в черно-белой гамме. Это делает их совершенными, неповторимыми и особенными.
• Тату цветные: для оригинальных людей. Похожи на абстрактную живопись. В сюжетах преобладают яркие, контрастные краски. Картинки напоминают разноцветную радугу. Доставляют владельцу и окружающим искреннюю радость, оптимизм. Нередко такие тату вызывают иллюзию движущихся предметов. Гипнотизируют, притягивают взгляд человека.

Эскизы геометрических татуировок, выполненные в цвете, превращают строгую картинку в яркое, модное украшение. Цветной татуаж приобретает новый смысловой оттенок. Цвет раскрывает характер, эмоции и посыл рисунка.

Наиболее популярные тона имеют следующие значения:

Мастер выполняет геометрический татуаж в любом цвете. Это зависит от вкуса и предпочтения человека, пришедшего в салон. Владельцы будущих татуировок предпочитают как черно-белые эскизы, так и цветные картинки. Привлекательно выглядят объемные рисунки в одном цвете и в комбинированном исполнении, с использованием черно-белых и разноцветных красок.

Популярные сюжеты

Сделать татуировку на руке решаются прагматичные люди, знающие, что при накалывании чувство боли будет минимальным. Это объясняют небольшим количеством нервных окончаний на конечностях, плотной кожей и мышечной прослойкой, амортизирующей уколы. В пользу тату на руках говорит и то, что кожа на них стареет медленно. Поэтому, при регулярном обновлении, рисунок выглядит эффектно и в зрелом возрасте.

Эскиз тату геометрия

Тату для девушек и мужчин делятся условно. Стиль геометрия является самым популярным и универсальным. Геометрические эскизы воздействуют на эмоциональные чувства человека, присущие любому полу.

Различие между женскими и мужскими тату – определенная форма.

Девушки чаще выбирают рисунки с плавными линиями и фигурами, что означает стремление к гармонии и любви.

Это следующие изображения:

• ракушки;
• звезды;
• луна;
• цветы – орхидея, роза, лотос, лилия;
• бабочка;
• корона;
• птицы.

Замечено, что прекрасная половина человечества любит наколки небольшого размера. Маленькие тату изящны, лаконичны. Эскизы содержат минимум деталей, просты по содержанию.

Мини-тату обозначают главные жизненные постулаты и ценности:

• стрела – дорога, устремленность к цели;

• сердце – романтическая любовь;
• знаки древности – индивидуальный амулет, привлекающий успех, удачу, счастье.

Мужчинам нравятся тату с ломаными, утолщенными линиями и угловатыми фигурами, символизирующими силу, мужество, мощь:

• абстрактные рисунки;
• животных – лев, волк, тигр;

• символы оккультизма – крест, знак бесконечности, троеточие;
• иероглифы;
• магические знаки – руны;
• звезды.

Также мужские наколки изображают животных с массивным, тяжелым корпусом:

• синий кит;
• индийский бык Гаур;

• жираф;
• американский бизон;
• африканский слон;
• большой рыжий кенгуру;
• белый или бурый медведь.

3D

Объемные изображения означают энергию, пульсирующую и динамичную жизнь. Картинки получаются подвижными и реальными. Такой результат получается за счет сочетания фигур, линий, знаков различных оттенков и размеров.

Дизайны эскизов отличается сюжетами:

• животные в стиле кубизма;
• зрительные иллюзии с основой из линий, квадратов, кругов;

• драгоценные, полудрагоценные камни;
• плоскостные рисунки, включающие 2 одинаковых изображения, нанесенные в различных оттенках, отличающихся друг от друга.

Большого размера

Тату геометрия (эскизы на руку крупного размера выбирают мужчины) удивляет причудливыми орнаментами. Большие рисунки (диаметром свыше 15 см) смотрятся красиво, необычно, мужественно. В основе крупных наколок – сложный, графический орнамент с высокой зрительной резкостью.

Основные эскизы:

• портрет человека;
• фото животного;
• механизмы – шайба, шестеренка, болт;
• славянские обереги;

• соты;
• фантастические сюжеты.

В стиле минимализма

За изящество и легкость стиль минимализма выбирает женский пол. Диаметр эскизов достигает 4-5 см. Чаще всего это несложные черно-белые символы и рисунки, с точками и линиями в основе. Процесс нанесения тату кропотливый, трудоемкий, медленный.

Стиль представляют:

• сердце;
• стрелы;
• графический алфавит;
• античные символы;

• славянская свастика – кресты с закругленными концами;
• переплетенные круги;
• амулеты, талисманы.

Растительность

Тату геометрия в виде цветочных эскизов на руку особенно популярна у девушек. Растительные мотивы означают женственность, романтичность и нежность. В геометрическом стиле цветочные стебли и бутоны получаются острыми, с рваными контурами. Цветы комбинируют с треугольниками, ромбами, кругами.

В данном виде татуажа предпочитают:

• розу: символизирует женскую силу, власть, недоступность;
• лотос: олицетворяет благородство, чистоту, бескорыстие, великодушие;
• сакуру: символизирует юность, возрождение, преображение;

• лилию: цветок означает духовность, чистоту помыслов;
• пион: приносит владельцу тату богатую жизнь, удачу, верную любовь;
• хризантему: цветок комбинируют с тату в восточных мотивах, означает совершенство, власть, стабильность;
• гвоздику: олицетворяет верность, преданность, самоотверженность, любовь;
• василек: утонченность, изысканность, элегантность, красота;
• колокольчик: постоянство, верность, аккуратность, устойчивость.

Кроме цветов, любители тату выбирают эскизы деревьев, символизирующие развитие, духовный рост, устойчивость человека. Женщинам подходят картинки, олицетворяющие невинность, чистоту, нежность. Это береза, ольха, ива. Мужчинам нравятся эскизы дуба, тополя, баобаба. Они ассоциируются с мощностью, силой, незыблемостью, прочностью.

Дерево считают символом, связующим земное и небесное.

Животные

Изображение животных – модная тема тату геометрии. Жанр анимализма известен с античных времен. Нашел отражение в религии древних индейцев, геральдике многих стран, эскизах сегодняшних тату.

Наколки животных наносят и женщины, и мужчины. Чаще всего, это обычные портреты из незамысловатых линий, которые смотрятся оригинально и экзотично. Звери символизируют силу, смелость, упорство, ум, лидерство.

Чаще всего встречаются тату:

• бык;
• орел;
• лиса;
• лев;
• кошка;

• медведь;
• олень;
• волк.

Наколки льва и волка традиционно делают мужчины. Рисунок наносят на плечо, грудь, тем самым говоря о своей воле, способности постоять за себя и своих родных. Рисунки с лисой обычно выбирают девушки, позиционируя себя умными, хитрыми и ловкими. Сова является тату унисекс, обозначает мудрость, ум, долгую жизнь. Обычные изображения птиц, зверей и рыб в сочетании со стилем геометрия получают иной смысл. Выглядят нестандартно, привлекательно, самобытно.

Абстракционизм

Тату геометрия (эскизы на руку особенно востребованы у молодежи) включает и беспорядочные, хаотичные рисунки. Татуировки абстракции не имеют особого значения и смысла. Будущий владелец тату самостоятельно придумывает картинку, вкладывает в нее личный смысл.

Различают абстракции по фигурам, элементам, линиям, используемым в эскизе наколки:

• Бессистемный, неорганизованный подбор фигур. Суть изображения закладывается в сочетание и количество фигур.

• Электрокардиограмма – тату из зигзагов, отождествляющих сердечный ритм, энергию человека.
• Мотивы градостроительства, объединения – рисунки состоят из частей колес, обломков кирпичей и камней.

Узоры

Узоры состоят из многочисленных геометрических знаков: линий, точек, треугольников, кругов, векторов. Они пересекаются между собой, образовывая красивые, фантастические картинки.

Обычно это довольно сложные узоры, с применением замысловатых цветовых схем. Эскизы геометрических узоров несут положительную, добрую энергетику. Выполненный татуаж на теле служит владельцу долгое время талисманом. Создание эскизов с геометрическими узорами – несложная задача. Достаточно минимальных знаний геометрии и умения фантазировать. Игра с точками, фигурами, ломаными линиями превращается в яркую, модную композицию.

Наколки, состоящие из геометрических знаков и фигур, трактуются по-разному, не всегда опираясь на философское или мифологическое значение. Красивые узоры, абстрактные сюжеты разных форм привлекают точностью, изяществом линий, оптическими эффектами.

Современное искусство тату геометрия зачастую носит понятный, доступный посыл. Люди выбирают эскизы на руку по своему вкусу и усмотрению. Получается красиво и стильно.

Видео о татуировках в стиле геометрия на руку

нетрадиционные тату в стиле геометрия с элементами дотворка:

Инженерная графика | Лекции | Эскизирование деталей

По вопросам репетиторства по инженерной графике (черчению), вы можете связаться любым удобным для вас способом в разделе Контакты. Возможно очное и дистанционное обучение по Skype: 1000 р./ак.ч.

Эскизные конструкторские документы (ГОСТ 2.102 — 68) широко применяются при решении вопросов организации производства, изобретательства, в конструкторской деятельности. По ним изготовляют изделия в опытном производстве, при ремонте и в других случаях. Поэтому эскиз должен уметь выполнять инженер любой специальности.

Эскиз — документ, предназначенный для разового использования в производстве, содержащий изображение изделия и данные, необходимые для его изготовления и контроля. Изображение предмета на эскизе выполняется по правилам прямоугольного проецирования, но от руки с соблюдением глазомерного масштаба. По содержанию к эскизу предъявляются те же требования стандартов ЕСКД, что и к чертежу.
Не смотря на то, что эскиз выполняется от руки, обводка изображений, штриховка, надписи, нанесение размеров должны быть выполнены на эскизе аккуратно и четко. Обычно эскизы выполняют на бумаге в клетку или миллиметровке, так как, используя вертикальные и горизонтальные линии клеток, удобно поводить линии построения изображений, соблюдая проекционную связь.
Формат эскиза определяется числом изображений и их степенью сложности. На эскизах наносят все размеры, необходимые для изготовления и контроля изображаемого изделия. Размеры элементов каждой детали определяют с помощью простых измерительных инструментов: металлической линейки, штангенциркуля, кронциркуля, нутромера, радиусомера, резьбомера, угломера.

7.1 Алгоритм выполнения эскиза детали

Последовательность операций при выполнении эскизов выработана практикой и может быть представлена следующим алгоритмом.

7.1.1 Изучение детали, анализ геометрической формы

Перед съёмкой эскиза детали внимательно её осмотрите, выясните назначение детали проанализируйте форму (конструктивные особенности), последовательность её изготовления. Необходимо выявить поверхности, которыми деталь соприкасается с поверхностями других деталей в изделии (сопрягаемые поверхности). Определите пропорции между элементами детали на глаз, материал, из которого она изготовлена.

7.1.2 Выбор главного и определение необходимого количества изображений

Главное изображение должно давать ясную и максимальную характеристику конструктивных особенностей изделия (формы и размеров изделия) и его функционального назначения. При выборе главного изображения рекомендуется учитывать технологию изготовления детали, её положение при обработке или в сборочной единице.
Далее рекомендуется решить, какие изображения ещё необходимо выполнить для полного выявления формы всех элементов изделия, чем-либо дополняющие главное. Число изображений (виды, разрезы, сечения) должно быть минимальным, но достаточным для изготовления и контроля изделия.
Для деталей типа тел вращения с различными конструктивными элементами (отверстиями, срезами, пазами) главное изображение часто дополняют одним или несколькими видами, разрезами, сечениями, которые выявляют форму этих элементов.
Планки, линейки, валики, оси, втулки и т. п. рекомендуется выполнять горизонтально (так как, в большинстве своем, изготавливаются на токарном станке, у которого ось вращения заготовки горизонтальна), а корпуса, кронштейны и т. п. — основанием вниз. Главное изображение, часто, это фронтальный разрез вдоль плоскости симметрии изделия, наиболее полно выявляющий его форму.

7.1.3 Выбор формата, масштаба и композиционное решение чертежа

Определив количество изображений, выберите приблизительный (глазомерный) масштаб и формат. Формат эскиза выбирают в зависимости от сложности поверхностей изделия, с учётом возможности как увеличения изображения по сравнению с натурой, для сложных и мелких, так и уменьшения простых по форме и крупных изделий.
На выбранном формате (А3, А4) нанесите (без применения линейки) рамку поля чертежа, основную надпись. Заполните графы основной надписи. Дальше предстоит выполнить компоновку, т.е. вычертить прямоугольники по габаритным размерам изображений и нанести осевые и центровые линии, предусмотрев при этом место для размещения размерных линий. Согласуйте компоновку с преподавателем.

7.1.4 Зарисовка изображений

Постройте изображения (линии тонкие), начиная с основной геометрической формы. Работу выполняйте в аудитории, имея перед глазами деталь. Разрезы и сечения временно оставьте не заштрихованными.
Нельзя упрощать конструктивные детали, не нанося галтели, зенковки, фаски, т.к. такие конструктивные особенности влияют на прочность детали, её правильную работу, удобства сборки и т.д.
Убедившись в верности построенных изображений, удалите вспомогательные линии и обведите линии контура толщиной 0,8…1,0 мм. Заштрихуйте разрезы и сечения. Расстояния между линиями штриховки – 2…3 мм.

7.1.5 Нанесение выносных и размерных линий

Нанесите выносные и размерные линии, предварительно наметив основные и вспомогательные конструкторские базы, как бы мысленно изготавливая деталь. Не допускается дублировать размеры. При нанесении необходимо соблюдать требования ГОСТ 2.307- 2011.

7.1.6 Обмер деталей, нанесение размеров

Выполните обмер детали при помощи измерительных инструментов и нанесите размерные числа шрифтом 5, согласовывая со стандартами ГОСТ 6636-69 — Основные нормы взаимозаменяемости. Нормальные линейные размеры, ГОСТ 10549-80 — Выход резьбы. Сбеги, недорезы, проточки и фаски.

7.1.7 Проверка чертежа

Выполните окончательную проверку эскиза и его соответствие детали.

7.2 Определение размеров деталей с натуры

7.2.1 Определение линейных размеров измерительными инструментами

Для определения линейных размеров при выполнении эскизов используют простейшие измерительные инструменты: линейку, кронциркуль (для измерения наружных диаметров), нутромер (для внутренних диаметров). С их помощью размеры получают с погрешностью 1…0,5 мм. Более точно (с погрешностью 0,1…0,05 мм) измеряют размеры штангенциркулем. При определении размера сначала считают по шкале штанги число миллиметров до нулевого штриха нониуса, а потом по шкале нониуса смотрят, какой штрих нониуса точно совпадает со штрихом шкалы штанги. Совпавший штрих нониуса укажет число десятых долей миллиметра. Примеры измерения указанными инструментами показаны на Рисунках 7.1 и 7.2.

Рисунок 7.1 — Измерительные инструменты

Рисунок 7.2 — Измерение расстояний между центрами отверстий и толщин стенок
Радиусы скруглений определяют радиусомером (набор шаблонов)  (Рисунок 7.3, а). Определение параметров стандартной резьбы производят с помощью штангенциркуля и резьбомеров. Резьбомеры представляют собой набор шаблонов, измерительная часть которых соответствует профилю стандартной резьбы. Резьбомеры бывают двух типов: для метрической резьбы с клеймом «М60⁰» и размером шага в миллиметрах на каждой пластинке и для дюймовой и трубной резьбы с клеймом «Д55⁰» и указанием числа ниток на дюйме на каждой пластинке. Для измерения шага резьбы на детали резьбомером подбирают шаблон-пластинку, зубцы которой совпадают с впадинами измеряемой резьбы Рисунок 7.3, б). Затем читают указанный на пластинке шаг (или число ниток на дюйм). Наружный диаметр стержня (или внутренний в отверстии) измеряют штангенциркулем. Определив размер и шаг, устанавливают тип и размер резьбы по таблицам стандартной резьбы (ГОСТ 8724-81, ГОСТ 6357-81).

Рисунок 7.3 — Измерение радиусов и шага резьбы

7.2.2 Съёмка размеров с помощью отпечатка

Форму и размеры плоского контура можно снять в виде отпечатка на бумагу. Деталь положите на бумагу и контур обведите острым карандашом. По отпечатку установите геометрическую форму и размеры контура. Радиусы и центры дуг определяют, проведя перпендикуляры из середины двух хорд дуги одного радиуса, при наличии оси симметрии её можно считать за один из перпендикуляров (Рисунок 7.4).
Отпечаток контура кромки внутренней полости детали снимают на бумагу протиранием контура графитом карандаша. По отпечатку устанавливают геометрическую форму и размеры контура.
При отсутствии резьбомера шаг резьбы может быть определён с помощью оттиска на бумаге. Для этого резьбовую часть детали обжимают листком чистой бумаги так, чтобы получить на ней отпечаток ниток резьбы. Затем, по оттиску необходимо измерить расстояние L между крайними чёткими рисками с погрешностью не более 0,2 мм. Сосчитав число шагов n на длине L (на единицу меньше числа рисок), определяют шаг резьбы.
Пример. Наружный диаметр резьбы 14 мм. Оттиск дал 10 чётких рисок (т.е. 9 шагов) общей длиной L = 13,5 мм. Определяем шаг P = 13,5:9 = 1,5 мм. По ГОСТ 8724-81 находим резьбу М14х1,5, т.е. метрическая резьба 2-го ряда с мелким шагом.

Рисунок 7.4 — Съемка размеров элементов деталей

По вопросам репетиторства по инженерной графике (черчению), вы можете связаться любым удобным для вас способом в разделе Контакты. Возможно очное и дистанционное обучение по Skype: 1000 р./ак.ч.

Тату геометрия эскизы на руку

Геометрические татуировки.

Геометрические татуировки сейчас уже очень распространены, и выглядят крайне впечатляюще. Подключив фантазию и вспомнив уроки школьной геомтерии, вооружившись линейками и циркулем можно поэкспериментировать с разными фигурами и линиями. Однако, это особенный уровень мастерства — нет права на ошибку, на результате отразится малейшее дрожание руки тату-мастера. Для тех, кто ищет себе вдохновения мы собрали галерею с геометрическими татуировками.

Только зарегистрированные и авторизованные пользователи могут оставлять комментарии. Войдите или Зарегистрируйтесь 

tattooed.ru

Тату Геометрия

Когда говорят о тату в стиле геометрия, его лучше всего называть наброском татуировки, чем непосредственно завершенным изображением. Линии такой татуировки делаются небрежно, сам рисунок получается полупрозрачным или не слишком перегруженным. Бывает, что выполненная татуировка далеко не всякий раз четко выделяется на кожном покрове.

Эскизы тату геометрия — особенности

Необходимо обязательно потратить время на выбор подходящего тату стиля, поиск эскиза. Это такое дело, в котором не следует поддаваться внезапному порыву. Если желаете услышать совет от тату мастера, ему тоже понадобится какое-то время, чтобы узнать вас ближе, познакомиться с вами. Ведь татуировка наносится на всю жизнь и должна полностью выражать интересы или жизненную позицию человека, который будет ее носить.

Иногда люди выбирают эскизы геометрических татуировок, чтобы впоследствии превратить их в красивые татуировки. Бывает, что в каталоге татуировщика так много интересных эскизов и все-таки выбрать хотя бы один подходящий для себя очень сложно. Выбор тату эскиза, в действительности, приравнивается к выбору имени для ребенка. Людям не хочется оказаться банальными или обычными: временами кажется, что каждый эскиз в каталоге татуировщика вы уже где-то видели, что это не то, что может вас по-настоящему устроить.

Татуировки в стиле геометрия к счастью имеет множество тем и стилей, из которых, наверняка, хоть один придется вам по душе. Кроме того, важен выбор цвета, который далеко не всегда определяется выбранным стилем. При этом обязательно следует учитывать, что на цветные тату сильно воздействуют солнечные лучи, а потому долгий загар с ними оказывается невозможным. Зато черно-белые татуировки держатся, как правило, дольше.

Не менее важен выбор наиболее подходящего места на теле для размещения татуировки. Это зависит не только от стиля тату, но и от персонального желания носителя.

Сделать тату в стиле Геометрия

Несмотря на простоту геометрических эскизов, художественная эстетичность и изящность такого тату при умелом исполнении безусловны.

Основное удобство такой татуировки связано с тем, что ее можно:

• доработать в любое время
• дополнить любыми красками
• переделать в какой-нибудь рисунок

Почему же люди останавливают свой выбор на данном стиле? Чаще всего геометрию рекомендуют тем людям, которые не могут решиться на полноценную татуировку и пребывают в сомнениях, делать ее или не делать, а если делать, то какой стиль выбрать. Конечно же, человек должен быть морально готов, чтобы сделать тату.

Фото тату геометрия

Page 2

Вступи в группу, поделись страницей и получи скидку 5%

Запишись к мастеру

Спасибо за заявку Скоро с вами свяжется наш

администратор

Page 3

Вступи в группу, поделись страницей и получи скидку 5%

Запишись к мастеру

Спасибо за заявку Скоро с вами свяжется наш

администратор

Page 4

Вступи в группу, поделись страницей и получи скидку 5%

Запишись к мастеру

Спасибо за заявку Скоро с вами свяжется наш

администратор

Page 5

Вступи в группу, поделись страницей и получи скидку 5%

Запишись к мастеру

Спасибо за заявку Скоро с вами свяжется наш

администратор

Page 6

Вступи в группу, поделись страницей и получи скидку 5%

Запишись к мастеру

Спасибо за заявку Скоро с вами свяжется наш

администратор

Page 7

Вступи в группу, поделись страницей и получи скидку 5%

Запишись к мастеру

Спасибо за заявку Скоро с вами свяжется наш

администратор

www.tattoox.ru

Фото тату геометрия: примеры рисунков, варианты, эскизы, значение

Тут мы собрали и предложили вам для ознакомления фото тату геометрия, варианты рисунков вы сможете взять за основу для создания уникальной татуировки и познакомиться с примерами существующих рисунков, выяснить особенности. Больше информации мы приготовили для вас тут:

• Значение тату геометрия
• Эскизы тату геометрия

Фото тату геометрия – коллекция готовых рисунков татуировки на теле

Все самое интересное про рисунок и фото тату геометрия

В 21 веке уже совсем не удивительно то, что люди разных возрастов и социальных статусов украшают свои тела различными татуировками. Приверженцы тату всегда ответственно подходят к выбору картинки, так как ее значение должно иметь определенный смысл. Многие считают, что наколотая татуировка может изменить судьбу носителя, поэтому важно не ошибиться, а иначе – неизвестно к чему эта шалость может привести.

Из огромного ассортимента дизайнов, некоторым импонирует геометрический стиль. Он появился недавно, но уже запал глубоко в душу любителям рисунков на теле.

Особенности геометрических татуировок.

Подобные тату представляют собой набор из геометрических фигур: квадрата, круга, прямоугольника, треугольника, шестиугольника и других. Чаще всего, они выполняются в объемном виде, благодаря которому итоговый вариант картинки приобретает очень интересные черты.

Стилистика геометрических татуировок.

Мастера настолько «набили руки», что могут изобразить с помощью геометрии обыкновенные цветы или животных. Все это получается весьма необычно и очень привлекательно.

При наличии фантазии у художника и желания у клиента, татуировки могут принимать не только великолепную форму, но и уникальное внутреннее наполнение, которое может превратиться в умопомрачительные узоры с множеством деталей.

Цветовые решения таких татуировок могут быть совершенно различными, поэтому если есть желание выполнить тату в нестандартных расцветках, то имеет смысл сообщить об этом своему мастеру заранее, так он сможет обыграть эскиз максимально интересно и задумка будет еще более завораживающей.

Значение тату геометрия.

Каждый из элементов геометрической татуировки может иметь отдельное значение, либо можно оценивать картинку, в целом. Простые линии выражают:

• вечность
• перерождение
• жизнь

Треугольник означает:

• брак
• жизнь
• смерть
• тело
• душа

Квадрат является обозначением силы, равенства, мудрости и справедливости, а круг – символом бесконечности и совершенства.

Если рассматривать элементы полностью, то их значения будут еще более интересными. Гексаграмма, например, состоит из двух треугольников, отвернутых друг от друга. Значение такой татуировки будет расшифровываться при разборе всех ее частей: треугольник, который повернут вверх, означает небо, а тот, что перевернут вниз, означает землю. Таким образом, человек, который делает себе такую татуировку, объединяет оба этих мира. Такой знак также говорит о совершенности брака между мужчиной и женщиной, об идиллии между ними.

Пентаграмма несет в себе значение мужского и женского начала, здоровье и гармонию, безопасность и духовность.

Для того, чтобы расшифровать каждую татуировку, нужно тщательно разобраться в каждом ее элементе по-отдельности, а также в общей картинке. Каждое обозначение может перетекать из предыдущего, таким образом, можно собрать наиболее полное объяснение. Прежде чем выбрать для себя наиболее комфортный вариант, нужно понять, что именно должна в себе нести тату и как она будет сочетаться с образом жизни человека. При соблюдении всех правил, татуировка будет радовать своего носителя всю его жизнь, поэтому очень важно не ошибиться и сделать правильный выбор.

Фото тату геометрия – примеры рисунков от 13.01.2018

Смотреть видео:

Подготовлено: sam4enko (Самченко Анастасия Павловна)

tatufoto.com

Геометрические наброски Леонардо да Винчи — Введение

Францисканский монах Лука Пачоли ( ок. 1445-1509) наиболее известен своим компендиумом по математике пятнадцатого века, Summa de arithmetica, геометрическая, пропорциональная и пропорциональная (1494) . Эта книга была задумана как краткое изложение известной математики того времени и включала специальный раздел, посвященный двойной бухгалтерии. Но Пачоли собрал и написал другие тексты. В De divina ratio 1509 он обсуждал «золотую пропорцию» и свойства различных многогранников.Пачоли был очарован многогранниками, изучал их свойства и строил деревянные модели для многих твердых тел. Монах также подружился со многими художниками того времени, включая Леонардо да Винчи. Да Винчи кратко изучал геометрию с Пачоли, но сосредоточился на рассмотрении формы, размера и перспективы, описательных характеристиках объектов, а не на их теоретических основах. Да Винчи проиллюстрировал Divina пропорционально , предоставив шестьдесят пластин для работы.

На следующих страницах представлены факсимиле некоторых из этих табличек; в частности, те, которые иллюстрируют сферу, конус, цилиндр, пирамиду и пять Платоновых тел.Для Платоновых тел Да Винчи предоставил два вида: плоский вид и «вакуум», или пустой вид, где он удалил стороны, чтобы лучше показать полную структуру многогранника. Эти «сети» из вершин и ребер иллюстрируют графический гений художника. Для получения дополнительной информации см. «Многогранники Леонардо да Винчи» Джорджа Харта.

Мы благодарим библиотеки Университета штата Пенсильвания за разрешение компании Convergence опубликовать следующие изображения иллюстраций да Винчи из их копии прекрасного факсимиле книги Пачоли De divina пропорционально , опубликованной Silvana Editoriale, Милан, Италия, 1982.Это факсимиле является рукописной копией книги Пачоли Divina , хранящейся в Библиотеке Амброзиана в Милане, одной из трех сделанных Пачоли.

Изображения из 1509 печатного издания De divina пропорционально, см .:

• «Математическое сокровище» в Convergence , дающее дополнительную информацию о пропорции Divina Пачоли, вместе с тремя изображениями из копии, хранящейся в Библиотеке Университета Оклахомы, и
• Еще одно «математическое сокровище» в Convergence , в котором представлены два изображения из копии Divina пропорционально Пачоли, хранящейся в библиотеке Батлера Колумбийского университета.

Указатель других математических сокровищ

Геометрия

Геометрия

Геометрия — это все о формах и их свойствах.

Если вам нравится играть с объектами или рисовать, то геометрия для вас!

Геометрию можно разделить на:

Плоская геометрия — это плоские формы, такие как линии, круги и треугольники … формы, которые можно нарисовать на листе бумаги

Solid Geometry — это трехмерные объекты, такие как кубы, призмы, цилиндры и сферы.

Точка, линия, плоскость и твердое тело

Точка не имеет размеров, только позиция

Линия одномерная

Самолет двумерный (2D)

Твердое тело трехмерное (3D)

Почему?

Почему мы делаем геометрию? Чтобы открывать закономерности, находить площади, объемы, длины и углы, а также лучше понимать мир вокруг нас.

Плоская геометрия

Плоская геометрия — это все о формах на плоской поверхности (например, на бесконечном листе бумаги).

Полигоны

Многоугольник — это двумерная фигура, состоящая из прямых линий. Треугольники и прямоугольники — это многоугольники.

Вот еще несколько:

Круг

Теоремы о круге (расширенная тема)

Символы

В геометрии используется много специальных символов.Вот вам краткая справка:

Геометрические символы

Конгруэнтные и похожие

Уголки

Типы углов

Преобразования и симметрия

Преобразований:

Симметрия:

Координаты

Более сложные темы по геометрии плоскости

Пифагор

Конические секции

Теоремы о круге

Центр треугольника

Тригонометрия

Тригонометрия — отдельная тема, поэтому вам, возможно, захочется посетить:

Твердая геометрия

Solid Geometry — это геометрия трехмерного пространства, в котором мы живем…

… начнем с самых простых форм:

Общие 3D-фигуры

Многогранники и неполиэдры

Есть два основных типа твердых тел: «Многогранники» и «Неполиэдры»:

Многогранники (должны иметь плоские грани) :

Non-Polyhedra (когда любая поверхность
не плоский) :

большой список — Программа для рисования геометрических диаграмм

Python Matplotlib

https: // matplotlib.org /

Хотя Matplotlib специализируется на построении графиков данных, он стал настолько функциональным, что с его помощью можно создавать хорошие 2D-иллюстрации.

Написание на Python также является огромным плюсом по сравнению с предметно-ориентированными языками, такими как gnuplot.

Надо сказать, что, поскольку основное внимание уделяется не иллюстрации, иногда вам нужно немного погуглить, чтобы найти решение, но часто такое решение существует или, по крайней мере, разумный обходной путь. А когда это не так, часто нетрудно самому написать код и отправить патч.

Рассмотрим, например, эту простую демонстрацию образовательного графа, которую я сделал:

Исходный код

Также обратите внимание, что в этой демонстрации нет ничего обязательного: например, вы можете легко сорвать топоры или заголовок.

Надо сказать, что Matplotlib не идеален для 3D, поскольку он не поддерживает бэкэнд OpenGL. В результате 3D-интерфейс получился особенно неуклюжим и неполным.

Но иногда можно обойтись без слишком строгих требований.Например, вот моя попытка иллюстрации сферы Блоха, которую я сделал для другого ответа:

Исходный код.

В этом примере мы видим, как мне не удалось разместить маленькие кружочки над графиком, как я бы хотел, показывая, что 3D не идеален. Но для него есть даже черновой пулреквест.

Одним из преимуществ Matplotlib является то, что он имеет собственный синтаксический анализатор подмножества LaTeX и, таким образом, освобождает полную установку LaTeX для математики, как указано на https: // matplotlib.org / 3.3.3 / tutorials / text / mathtext.html:

Обратите внимание, что вам не нужно устанавливать TeX, поскольку Matplotlib содержит собственный анализатор выражений TeX, механизм компоновки и шрифты. Механизм компоновки представляет собой довольно прямую адаптацию алгоритмов компоновки в TeX Дональда Кнута, поэтому качество довольно хорошее (matplotlib также предоставляет опцию usetex для тех, кто действительно хочет вызвать TeX для генерации своего текста

Проверено на matplotlib == 3.2.2.

3blue1brown’s Manim

https: // github.com / ManimCommunity / manim /

Это основано на движке, который 3blue1brown использует для своих потрясающе выглядящих видео, которые включают сложные движущиеся графики и формулы.

Пусть образец видео говорит сам за себя: https://www.youtube.com/watch?v=r6sGWTCMz2k&t=1s

И есть демонстрация в дереве:

  git clone https://github.com/ManimCommunity/manim/
cd Manim
git checkout 1b12f076be49a677add97346eed6900e3cf18873
cd example_scenes
manim basic.py OpeningManimExample
xdg-open./media/videos/basic/480p15/OpeningManimExample.mp4
  

Демонстрации Inkscape

Inkscape ранее упоминался по адресу: Программное обеспечение для рисования геометрических диаграмм, но вот несколько демонстраций, которые кажутся актуальными.

https://graphicdesign.stackexchange.com/questions/141237/how-to-color-2-circles-intersection-in-different-color-in-draw-io показывает, как он поддерживает пересечение фигур (вы должны потенциально копировать объекты для их объединения):

Интуиция за нормальными подгруппами показывает блок-схему в более свободной форме, которую я сам составил:

Inkscape в настоящее время не поддерживает ограничения, однако, к сожалению: https: // gitlab.com / inkscape / inbox / — / issues / 1465 например. «одинаковой ширины, параллельности и т. д.», но обычно вы можете получить достойные результаты, просто привязав к сетке в редакторе.

Нет поддержки математики LaTeX, которая кажется чрезвычайно удобной, но есть несколько доступных методов:

Экспорт FreeCAD SVG

Обычно это немного перебор, но это действительно круто.

FreeCAD, как программное обеспечение САПР, фактически поддерживает явные ограничения с помощью решателя ограничений.

Это немного похоже на то, что программное обеспечение для рисования геометрических диаграмм, упомянутое kseg, может делать, за исключением того, что kseg кажется немного заброшенным, например последний выпуск на SourceForge датируется 2011 годом.

FreeCAD не ориентирован на создание красивых SVG, но возможный рабочий процесс может заключаться в экспорте идеальной геометрии в SVG, а затем импорте SVG в Inkscape для обработки большего количества визуальных деталей. Это может быть разумным обходным путем до того благословенного дня, когда Inkscape реализует ограничения.

Для экспорта в SVG необходимо создать эскиз. FreeCAD немного пугает, поскольку он делает гораздо больше, чем 2D-фигуры, поэтому просто посмотрите это видео: https://www.youtube.com/watch?v=sxnij3CkkdU

Таким образом, я получаю точно определенную цифру, вы можете увидеть некоторые ограничения, отображаемые в графическом интерфейсе FreeCAD, например равенство граней этого треугольника:

Затем я экспортирую в SVG через:

• Выберите эскиз в правом меню
• Файл
• Экспорт
• Тип файла: Flattned SVG

А потом после конвертации в PNG для загрузки сюда:

  inkscape -b 'FFF' -z -w 512 глаз.svg -e eye.png
  

Получаю:

TODO: почему все так запутано?

Протестировано на FreeCAD 0.18.4, Ubuntu 20.04.

MathMod

https://github.com/parisolab/mathmod

По состоянию на 2020 год небольшое сообщество, но похоже, что оно способно создавать действительно хорошие 3D-параметрические / изокривые графики с помощью OpenGL и настраиваемого затенения.

Вы можете использовать собственный язык сценариев для его автоматизации (позор, но не Python), а в графическом интерфейсе есть виджеты для изменения параметров, включая анимацию во времени.

Я заставил его работать на Ubuntu 20.10, загрузив предварительно собранную версию 10.1 с официальной страницы загрузки на SourceForge (к сожалению). Затем просто разархивируйте и запустите:

  ./RunMathMod.sh
  

Вот скриншот из версии 10.1:

Как использовать инструменты эскиза в COMSOL® для рисования 2D-геометрии

Для компонентов 2D-моделирования или при использовании рабочих плоскостей в 3D-моделях вы, возможно, заметили тонкие, но существенные изменения в способах создания геометрии в программном обеспечении.Используя режим Sketch , наряду с ограничениями и размерами, вы можете рисовать плоскую геометрию и определять отношения между геометрическими объектами, которые вы рисуете. Будьте уверены, функция рисования 2D-геометрии, к которой вы привыкли, все еще доступна, но теперь есть функции, которые обеспечивают эффективность, как никогда раньше.

Представляем режим эскиза

Режим Sketch , анонсированный с выпуском версии 5.5 программного обеспечения COMSOL Multiphysics®, позволяет интерактивно рисовать и редактировать геометрию прямо в окне Graphics .Функциональность может использоваться с планарными чертежами и доступна вместе с основными функциями программного обеспечения COMSOL®.

Вкладка Sketch , доступная на вкладках ленты Geometry или Work Plane для компонентов 2D или 3D модели соответственно.

В режиме Sketch вы можете интерактивно рисовать множество различных типов фигур. Рисование этих фигур идентично предыдущим версиям программного обеспечения, но с улучшенной визуализацией, индикаторами и функциональностью.

Интерактивный рисунок

При рисовании геометрии в окне Graphics с использованием режима Sketch все объекты отображаются в каркасном рендеринге до тех пор, пока вы не будете работать вне режима Sketch или геометрических узлов в дереве модели. Это остается верным независимо от настройки, выбранной для типа объекта, например сплошной, открытой кривой или замкнутой кривой, что обеспечивает легкий доступ и просмотр всех составляющих объектов.

Визуализация твердого объекта при работе в режиме Sketch (слева) по сравнению с режимом Sketch (справа) за пределами режима.

После открытия панели инструментов Sketch и выбора типа формы, которую вы хотите создать в разделе Draw панели инструментов, вы можете щелкнуть и переместить или перетащить мышь в окне Graphics , чтобы сформировать форму. Несколько геометрических примитивов доступны для рисования с помощью соответствующих кнопок, и практически любая геометрия может быть создана с помощью комбинации нескольких примитивных элементов.

Прямоугольник, нарисованный сначала с помощью элемента-примитива соответствующей формы, кнопки Rectangle , а затем кнопки Polygon .Используя кнопку Rectangle , объект рисуется путем щелчка левой кнопкой мыши, перетаскивания указателя мыши до желаемого размера, а затем повторного щелчка левой кнопкой мыши для завершения рисования. Используя кнопку Polygon , объект рисуется через сегменты линии для каждого края. После завершения рисования последнего края щелчок правой кнопкой мыши завершает рисование.

Новый режим Sketch обеспечивает интерактивные и более быстрые параметры рисования фигур, доступные в предыдущих версиях программного обеспечения COMSOL®, например:

• Кривые интерполяции
• Кривые Безье
• Прямоугольники
• квадратов
• Круги
• Дуги
• Эллипсы

Также имеется новая функциональность, которая обеспечивает параметры рисования геометрических фигур и элементов, которые ранее не были доступны для рисования, таких как многоугольники, все из которых максимизируют эффективность, с которой вы можете создавать нужную геометрию.

Скругления теперь можно рисовать интерактивно, выбирая одну или несколько точек, а затем перетаскивая мышь, чтобы создать закругленные углы.

Демонстрация использования операции Fillet . Вершины на острых углах выбираются, а затем перетаскиваются для образования закругленных углов.

Функция Composite Curve позволяет интерактивно объединять различные типы ребер в один объект, сохраняя связь между всеми составляющими ребрами.Этот элемент автоматически создается и добавляется к вашей геометрической последовательности, когда вы рисуете последовательность различных типов ребер. Вы также можете использовать эту функцию вручную, выбрав узлы в вашей геометрической последовательности, которые соответствуют соединенным ребрам в вашей геометрии, щелкнув правой кнопкой мыши, а затем выбрав элемент Composite Curves . Это собирает все связанные, но автономные объекты кривой, выбранные в вашей последовательности, в один объект.

Показывается составная кривая, сначала автоматически, а затем вручную.При ручной сборке объектов в составную кривую вам может потребоваться сначала обновить настройку для типа объекта, чтобы параметр меню был доступен.

Интерактивное редактирование

При редактировании любых объектов в геометрии, помимо изменения любых значений в окне Настройки для объекта, теперь вы также можете щелкнуть и перетащить сам объект, его края или вершину, чтобы изменить его размер или положение одного объекта. или несколько частей вашей геометрии. Вы также можете нажать клавиши Ctrl и / или Shift при перетаскивании мыши, чтобы изменить то, как перемещаются другие геометрические объекты в вашем дизайне.

Есть много способов интерактивного редактирования геометрии, как показано в этом ролике. Вы можете щелкнуть и перетащить центр объекта, чтобы переместить его, изменить размер, перетащив край, или изменить размер или конфигурацию, перетащив вершину.

Кроме того, если ваш эскиз содержит несколько объектов, и вы не уверены, какие части принадлежат каким узлам в вашей геометрической последовательности, после выбора рассматриваемого геометрического объекта вы можете дважды щелкнуть его.Соответствующий узел, которому принадлежит часть вашего эскиза, будет автоматически выбран в окне Построителя моделей.

При двойном щелчке по каждому отдельному геометрическому объекту в режиме Sketch узел, соответствующий этой части геометрии, автоматически выбирается в окне Построителя моделей.

Это удобно, когда у вас есть сложные или сложные конструкции для геометрии вашего моделирования. Оттуда вы можете внести изменения в его свойства вручную в окне Settings или изменить объект прямо в окне Graphics .

Рекомендации и индикаторы

При использовании режима Sketch вы заметите, что есть много визуальных индикаторов, которые появятся в окне Graphics , а также над соответствующими геометрическими объектами, с которыми вы взаимодействуете. При нажатии кнопки Sketch жирные линии сетки автоматически появляются на интервалах x и y , обеспечивая быстрое определение исходной точки в сетке.

Окно Graphics , отображающее жирные линии сетки в исходной точке после включения режима Sketch в геометрии.

При перетаскивании любой вершины в геометрии модели вы заметите, что зеленые линии сетки появляются, когда вы перетаскиваете точку для совмещения с другими точками в вашей геометрии. Вы также заметите, что эти же линии появляются при рисовании любых новых объектов в вашей геометрии. Эта функция обеспечивает руководство по рисованию объектов в позициях относительно друг друга.

Зеленые линии сетки отображаются в окне Graphics при перетаскивании вершины или при создании эскиза нового объекта для обозначения выравнивания с другими вершинами.

Как упоминалось выше, одним из способов редактирования нарисованных вами объектов, помимо интерактивного редактирования в окне Graphics , является внесение изменений в окно Settings . Для некоторых геометрических примитивов, таких как многоугольники или кривые интерполяции, при редактировании координат точки красный кружок обозначает соответствующую точку в окне Graphics , которое вы редактируете в данный момент, что позволяет вам точно увидеть, какую точку вы перемещаете.

В окне Settings для многоугольника выбор любой из ячеек в таблице приведет к тому, что соответствующая вершина с этими координатами будет выделена красным кружком.

Ограничения и размеры в модуле проектирования

Доступный как часть вкладки ленты Sketch , есть инструменты, которые позволяют применять ограничения и размеры к плоской геометрии, что также можно сделать интерактивно прямо в окне Graphics .Это полезно и особенно важно, когда вы рисуете или имеете дело со сложной геометрией и вариантами использования, например, если вы хотите параметризовать свою геометрию и впоследствии изменить значения. Вместо того, чтобы придумывать, а затем вручную определять выражения для координат и размеров примитивов, вы можете указать положения, расстояния и углы, что значительно ускорит и упростит процесс. Обратите внимание, что эта функция доступна в модуле «Дизайн» и не является частью основных функций программного обеспечения COMSOL®.

Разделы Constraint и Dimension на вкладке Sketch , доступные в модуле Design.

Включение этих инструментов осуществляется через узел Geometry путем включения соответствующей настройки в разделе Constraint и Dimension окна Settings .

Окно Geometry Settings , в котором функциональность ограничений и размеров была включена путем выбора на в соответствующем раскрывающемся меню.

Ограничение — это требование, накладываемое на геометрические объекты, не связанные со значением. Примеры этого включают требование, чтобы два ребра были перпендикулярны друг другу или чтобы линия касалась кривой. Программное обеспечение имеет множество предопределенных ограничений, доступных для использования, например:

• Параллельный
• Перпендикуляр
• Касательная
• Совпадение
• Концентрический
• Равное расстояние
• Равный радиус

Область простой геометрии, показывающая до (слева) и после (справа) ограничение Перпендикуляр , примененное между двумя соседними краями.

И наоборот, размер — это требование, предъявляемое к геометрическим объектам, связанным со значением. Примеры этого включают установку значения радиуса дуги или расстояния между двумя точками. Параметры и выражения также могут использоваться для определения таких значений, что полезно при выполнении параметрического анализа или оптимизации параметров (подробнее об этом позже). Размеры, встроенные в программное обеспечение COMSOL®, включают:

• Расстояние
• x-расстояние
• Расстояние Y
• Общая длина кромки
• Уголок
• Радиус
• Позиция

Область простой геометрии, показывающая до (слева) и после (справа) размер Расстояние , примененный к кромке.

Функции Constraint и Dimension можно применить несколькими разными способами. Их можно добавить вручную, выбрав желаемую кнопку Constraint или Dimension на ленте, а затем выбрав соответствующие геометрические объекты в окне Graphics , к которым вы хотите применить отношение. Это также можно сделать с помощью более автоматизированного подхода, включив режим Smart Constraint или режим Smart Dimension .При таком подходе вы выбираете кнопку Constraints или Dimensions на панели инструментов Sketch ; приступить к выбору геометрии; а затем, в зависимости от выбранных вами геометрических объектов, соответствующее ограничение или размер появляется с соответствующим значком рядом с вашей мышью и становится доступным для применения.

Кроме того, ограничения также могут добавляться автоматически во время интерактивного редактирования эскиза, если включен параметр Использовать ограничения и размеры .Например, перетаскивание вершины для совпадения с другой вершиной в вашем эскизе приведет к автоматическому созданию ограничения совпадения.

После того, как ваш эскиз четко определен, геометрия заблокирована и отображается черным цветом, а не серым цветом, который она отображается, когда она разблокирована и доступна для редактирования. Кроме того, в окне Settings узла Geometry отображается сообщение о состоянии, в котором говорится, что эскиз определен правильно. Обратите внимание, что применение ограничений и размеров для создания четко определенного эскиза не является обязательным, но рекомендуется для развертки геометрических параметров и оптимизации.

Режим Smart Constraint позволяет применять ограничения к этой произвольной геометрии. Обратите внимание на сообщение о статусе геометрии в начале видео. После этого включается режим Smart Dimension для применения размеров к геометрии. Обратите внимание на сообщение о состоянии геометрии после применения всех этих ограничений и размеров в конце видео.

После применения любых ограничений или размеров к геометрии вы всегда можете навести указатель мыши на любой из характерных значков.Это выделит геометрические объекты, связанные с ограничением или размером в окне Graphics . Вы также можете дважды щелкнуть значок, и соответствующий узел в геометрической последовательности будет выбран автоматически. Оттуда вы можете редактировать любые свойства ограничения или измерения в окне Settings .

При наведении курсора мыши на любые ограничения и размеры, применяемые к вашей геометрии, связанные геометрические объекты выделяются в окне Graphics .Затем вы можете дважды щелкнуть любое ограничение / измерение, чтобы открыть и отредактировать его свойства в окне Settings .

Подготовка эскиза к параметрической развертке

Подробно обсудив эту геометрическую функциональность, вам может быть интересно, в каких точках вашего процесса проектирования реализовать использование таких функций, особенно если вы хотите изучить влияние геометрических параметров с помощью параметрической развертки. Для такого приложения рекомендуется применить ограничения и размеры к нарисованному эскизу, чтобы он был четко определен.Это гарантирует, что геометрия, которую вы создаете, будет вести себя предсказуемым образом при изменении размеров. Поскольку размеры и координаты обновляются в соответствии со значениями, которые вы указываете в развертке, форма и связь геометрических объектов друг с другом сохраняются.

Не существует специальной процедуры, которую нужно использовать, чтобы привести эскиз, недостаточно ограниченный и определенный, к такому, который есть. Однако мы обнаружили, что следующий порядок шагов может быть полезен при рисовании и однозначном определении эскиза, который будет использоваться в параметрическом исследовании с помощью панели инструментов Sketch :

1. Нарисуйте геометрию
2. Применить ограничения
3. Применить размеры
4. Применение ограничений и размеров для фиксации степеней свободы твердого тела

На шагах, описанных выше, вы можете увидеть, что применение ограничений и размеров фактически разделено на две части: одна, в которой вы определяете и ограничиваете геометрические объекты в своем эскизе, и другая, в которой вы определяете и ограничиваете геометрию специально с учетом чтобы избежать перемещения и вращения твердого тела.Следование этому порядку обычно эффективно для получения четко определенного эскиза. Таким образом, в первую очередь ограничивается сама геометрия. Затем последние ограничения и размеры, необходимые для получения четко определенной геометрии, — это те, которые исключают возможность свободного перемещения эскиза как твердого тела. Для ограничения степеней свободы твердого тела можно использовать такие размеры, как Position , x-Distance или y-Distance .

Следующие шаги и дальнейшее обучение

После изучения этой геометрической функциональности в программном обеспечении, мы рекомендуем вам попробовать! Поэкспериментируйте с объединением различных форм и используйте рекомендованный рабочий процесс создания эскизов, упомянутый выше, чтобы познакомиться с этими бесценными инструментами.

Чтобы узнать больше о панели инструментов Sketch , а также о функциях Constraint и Dimension , вы можете обратиться к страницам основных моментов выпуска COMSOL Multiphysics версии 5.5 для Geometry и Design Module соответственно. Кроме того, для пользователей, имеющих лицензию на модуль дизайна, есть руководство по использованию инструмента Sketch вместе с ограничениями и размерами в документации Introduction to the Design Module .

Preservice Создание учителями эскизов динамической геометрии для понимания тригонометрических взаимосвязей — CITE Journal

Программное обеспечение динамической геометрии — мощный инструмент, который можно использовать для исследования геометрических взаимосвязей, предположений и проверки гипотез (Sinclair, Skelin, & Pimm, 2012). Тем не менее, потенциал этого инструмента для улучшения класса математики опосредован способностью учителей выбирать задачи, которые используют преимущества уникальных функций, присутствующих в средах динамической геометрии, и строить эскизы, которые придают учащимся характерные специфические математические свойства.Хотя этот инструмент обладает огромным потенциалом для улучшения классов математики, он зависит от способности учителей создавать наброски, которые могут эффективно и результативно выделять математические взаимосвязи.

Преподаватели учителей имеют уникальную возможность включить опыт в программы подготовки учителей, которые позволяют начинающим учителям и учителям, работающим до этого, критически оценивать преимущества и проблемы, предоставляемые технологиями для улучшения усвоения учащимися математики (Brakoniecki, Glassmeyer, & Amador, 2016).Использование программного обеспечения динамической геометрии в классе требует, чтобы учителя использовали свои знания в области содержания, педагогики и технологий по-новому.

Рассматривая способы, которыми учителя строят свои собственные наброски, и исследуя, как их конструкции подчеркивают определенные отношения, преподаватели могут поддержать учителей в дальнейшем развитии их знаний в области преподавания и изучения математики с помощью технологий. Таким образом, в исследовании, описанном в этой статье, изучается диапазон эскизов динамической геометрии, созданных предварительными учителями в рамках курса математики для учителей средней школы.Мы подчеркиваем здесь проблемы, с которыми сталкиваются начинающие учителя, когда они стремятся построить математически точные и иллюстративные наброски.

Лучше понимая проблемы построения эскизов учителями, мы можем определить возможности, которые помогут учителям объединить свои знания математики, педагогики и технологий в более богатые технологии, педагогику и содержательные знания (TPACK; Mishra & Koehler, 2006) .

Технология для поддержки изучения математики

Сложное взаимодействие между математическим предметом, технологическими инструментами и учебными подходами требует вдумчивого и целенаправленного рассмотрения при реализации.Стратегические знания необходимы для реализации взаимодействия этих областей. Мишра и Кёлер (2006) разработали структуру для описания этих взаимодействий со своей структурой TPACK. Они утверждали, как это сделал Шульман (1986), предлагая знания педагогического содержания, что эффективное преподавание содержания с помощью технологий требует не просто взаимодействия разрозненных областей знаний, а вместо этого специализированных знаний, относящихся к тому, как преподавание и изучение предмета. могут быть затронуты технологией.

Они утверждали, что при обучении с помощью технологий учителя опираются на свои знания о содержании, педагогике и технологиях. Однако они выступали за уникальное знание в комбинации этих областей, которое отличается от знания какой-либо отдельной области. Основываясь на работе Шульман, эти области представляют собой знания педагогического содержания (например, знание распространенных заблуждений учащихся при обучении многозначному умножению), знания технологического содержания (например, знание того, что конкретный графический калькулятор не показывает дыр в визуальном отображении прерывистой функция), технологические педагогические знания (напр.g., зная, что часть программного обеспечения для класса включает элементы управления учителем, которые могут одновременно фиксировать работу учащихся, которая затем может быть передана классу для изучения), и знания технологического педагогического содержания (например, знание того, как это программное обеспечение для геометрии позволяет функция должна быть одновременно представлена ​​в виде графика, таблицы и уравнения, чтобы можно было наблюдать закономерности изменения при изменении коэффициента функции). При использовании программного обеспечения для динамической геометрии в классе от учителей часто требуется использовать многие или все эти различные области знаний, чтобы подумать о том, как программное обеспечение может сделать видимыми математические взаимосвязи, а также наблюдения и обобщения, которые студенты могут сделать при взаимодействии с эскизом. .

Визуальные представления — важный компонент геометрии. Учителя и ученики часто работают со схемами в геометрии (Sinclair et al., 2012) и обсуждают, как интерпретировать и читать эти конструкции. Создание этих диаграмм подчеркивает определенные математические отношения.

Хотя статические диаграммы часто представляют фигуру в одной компоновке, динамические диаграммы можно рассматривать как представление фигуры во многих компоновках (Sinclair, Healy, & Sales, 2009).Перетаскивая объекты на динамических диаграммах, учащиеся создают множество диаграмм в быстрой последовательности. Благодаря такому использованию динамического движения учащиеся могут полностью убедиться в математических отношениях, основанных на внешнем виде диаграммы, и использовать эту визуальную достоверность в своих рассуждениях о математических явлениях.

Одним из ограничений физических диаграмм является то, что обычно можно увидеть только готовый продукт, но не его конструкцию; однако программное обеспечение для работы с геометрией позволяет пользователям выделить или раскрыть, как создавались эскизы.Эти эскизы часто создаются в отношениях родитель-потомок (например, линия, построенная через две существующие точки, или луч, построенный для разделения существующего угла пополам). Пользователи могут проследить происхождение эскизов, чтобы понять, как работает эскиз, узнать, какие части этих диаграмм зависят от других частей, и узнать, что эскиз пытается изобразить. Это технологическое педагогическое понимание может быть важным инструментом для изучения диаграммы, помимо того, как она выглядит, но что она представляет.

Помимо важности работы с диаграммами, изучение геометрии также включает в себя большой упор на дисперсию и инвариантность (Sinclair et al., 2012). Геометрические теоремы и свойства часто подчеркивают, что меняется друг с другом (например, внутренний угол измеряется при увеличении количества сторон правильных многоугольников), а что остается неизменным при изменении других размеров (например, диагонали ромба остаются перпендикулярными биссектрисам друг друга, неважно ромб).

Известные отношения могут использоваться для изучения и объяснения новых отношений.Эти вариативные и инвариантные отношения выделяются в средах динамической геометрии, поскольку динамическое движение фигур, линий и точек допускает определенную вариативность при сохранении другой инвариантности. Например, рисование прямоугольника требует знания содержания, что противоположные стороны параллельны, а все внутренние углы равны 90º. При построении динамического эскиза прямоугольника он должен быть построен таким образом, чтобы движение точек сохраняло эти особенности, что включает в себя знание технологического содержания.Четыре вершины прямоугольника не могут все быть независимыми точками; в противном случае движение одной точки могло бы сделать противоположные стороны больше не параллельными, или внутренние углы больше не были бы 90º.

Эскиз, построенный так, чтобы он всегда был прямоугольником, выделяет определенные отклонения и инвариантности посредством манипуляций с эскизом. Это отличается от эскиза параллелограмма, который можно преобразовать в прямоугольник, который может выделить другие отклонения и инварианты в зависимости от того, какие объекты сделаны независимыми и зависимыми.

При взаимодействии со статическими диаграммами или эскизами динамической геометрии учащихся часто просят использовать фигуры для изучения математического явления. Некоторые действия возможны с фигурами, будь то статические или динамические, например рисование, измерение или построение в рамках данного эскиза. Инструменты для выполнения этих действий различаются и имеют разную степень точности, но возможны аналогичные наблюдения и результаты. Однако в эскизах динамической геометрии можно перетаскивать, преобразовывать и анимировать объекты, что позволяет учащимся рассматривать несколько примеров, замечать варианты и инвариантные отношения и даже удивляться возникающим шаблонам (Trocki, 2014).

Эти виды деятельности сложны, отнимают много времени и, возможно, даже невозможно выполнить с помощью нарисованных от руки фигур. Сила эскизов динамической геометрии заключается в способности манипулировать и учитывать различные отношения фигур и требует, чтобы учителя опирались на свои технологические педагогические знания при разработке этого опыта для учащихся.

В дополнение к выделению свойств геометрических отношений, использование программного обеспечения динамической геометрии также дает возможность изменять виды геометрических задач, предлагаемых учащимся.Концепция замены, усиления и преобразования (RAT) Хьюза, Томаса и Шарбера (2006) определяет, как различные задачи, связанные с технологиями, изменяют (или не изменяют) природу рассматриваемой математики. Задачи, которые (почти) идентичны их бумажно-карандашным версиям, часто всего лишь заменяют аналоговую задачу цифровой средой, требуя идентичного мышления и понимания. Иногда технологическая среда предлагает повышение эффективности и производительности математической задачи.В этих случаях технология описывается как , расширяющая математические задачи в классе. Преобразование посредством технологии происходит, когда технология меняет метод обучения или фактический предмет (Hughes et al., 2006). Таким образом, структура RAT предлагает механизм для характеристики роли, которую технология играет в математической задаче.

С этой целью мы стремились изучить способы, с помощью которых учителя preservice строили эскизы динамической геометрии, и описать вариации их построений для того, как они выделяли или скрывали определенные варианты и инвариантные математические отношения.Затем мы опишем упражнение, в котором предварительных учителей математики попросили создать эскизы динамической геометрии и представить некоторые примеры их эскизов. Наша цель — проиллюстрировать некоторые общие трудности, возникающие при попытке создать эскизы динамической геометрии, чтобы мы могли помочь учителям расширить свои знания и понимание того, как их конструкции могут или не могут сделать видимыми предполагаемые математические взаимосвязи.

Наклон и угловая активность

Преподаватели, прошедшие предварительную подготовку, из которых мы черпаем наши примеры, были получены из двух разделов курса математики для учителей средней школы в крупном университете США (31 преподаватель предварительной подготовки за 2 года).Этот предметный курс был посвящен алгебре, геометрии и тригонометрии.

Во время одной серии заданий в этом классе учителя preservice исследовали взаимосвязь между наклоном линий на координатной плоскости и углами, образованными этими линиями по отношению к направлениям x и y (касательная связь ). Что было уникальным для этой деятельности, так это то, что учителям preservice не сказали, что это были косвенные отношения, когда они начали задание.

В этом упражнении учителя preservice исследуют эту взаимосвязь для прямых, исследуя наклонные треугольники (прямоугольные треугольники с их гипотенузой на прямой). Учителя preservice первоначально исследовали с бумагой и карандашом, используя линии сетки миллиметровой бумаги, чтобы приблизить коэффициент наклона линий с треугольниками и транспортиром, чтобы измерить углы до ближайшего градуса треугольников. В начале упражнения учителя предварительного обслуживания предположили, что все наклонные треугольники линии похожи друг на друга, что означает, что соответствующие углы треугольников совпадают, а длины треугольников остаются пропорциональными друг другу.

Ближе к началу занятия учителей preservice попросили исследовать линию, которая составляла угол 11º с осью x , и другую линию, которая имела наклон 2/5. Преподаватели службы предварительной подготовки заметили, что линии с углом наклона 11 ° (при округлении до ближайшего градуса) имели наклон примерно 1/5, а линии с наклоном 2/5 имели наклонные треугольники с углами основания 22 ° (при округлении до ближайшего степень).

Учителя preservice предположили, что эта очевидная линейная картина между наклоном и углом будет продолжаться.То есть заподозрили, что при увеличении угла вдвое и уклон увеличивается в два раза. Однако после некоторого размышления некоторые из учителей preservice определили потенциальную проблему с этой очевидной линейной зависимостью, отметив, что если бы это было правдой, линия с наклоном 5/5 должна соответствовать прямоугольным треугольникам с углом 55º, но некоторые знали линию с уклоном 5/5 должны иметь прямоугольные треугольники под углом 45º.

Хотя они понимали, что их гипотеза не удалась, когда они думали о больших углах, они не понимали, почему она сломалась.Чтобы помочь им понять, почему их первоначальная гипотеза отношения может не соблюдаться, инструктор (третий автор этой статьи) дал учителям предварительного обслуживания следующие инструкции по созданию динамических геометрических эскизов, которые позволяют исследовать взаимосвязь угла и наклона для домашнего задания.

Используйте Geogebra (geogebra.org), Desmos (desmos.com) или Sketchpad Geometry (www.dynamicgeometry.com/), чтобы создать два файла. Эти файлы должны быть динамическими, чтобы вы могли щелкнуть и перетащить точку, чтобы получить треугольники с различным уклоном.Убедитесь, что указаны длина и высота стороны. Ваш первый файл должен содержать угол 11 градусов, аналогичный графику, показанному на первой странице занятия в классе. Второй файл должен содержать график линии y = (2/5) x с множеством треугольников с различным наклоном, аналогично задаче 4a. Ваш эскиз должен включать объяснение того, какой угол образуется между этой линией и положением на 3 часа оси x .

При выполнении этого задания инструктор преследовал несколько целей.Во-первых, это была возможность для учителей preservice использовать динамический аспект программного обеспечения, где они могли рисовать и манипулировать наклонным треугольником с динамическими углами и длинами сторон, чтобы показать, что независимо от размера или местоположения наклонного треугольника, длины сторон остались пропорциональными, и, таким образом, коэффициент наклона не изменился.

Во-вторых, учителя предварительной подготовки могли бы воспользоваться большей точностью технологии, увидев, что для треугольника 11º коэффициент наклона не точно 1/5, а для линии с наклоном 2/5 угол, который она составляет с осью точно не 22º.Наконец, в то время как эта деятельность была сосредоточена на создании и использовании инструмента, чтобы помочь каждому отдельному учителю preservice развить собственное понимание математических отношений, мы также признали потенциал для учителей preservice использовать их TPACK и строить эскизы, которые могли бы помочь математические знания развиваются у любого пользователя, а не только у него самого. Преподаватели preservice использовали программное обеспечение динамической геометрии ранее в курсе и на других курсах как часть их программы степени.Эти наброски были отправлены онлайн и использованы на последующих классных собраниях для дальнейшего изучения и бесед.

На основе этих представленных эскизов мы рассмотрели (а) точность, с которой были построены эскизы, (б) какие аспекты своих эскизов учителя preservice решили сделать вариантными и неизменными, и (в) когда эскиз был изменен. , отражает ли она ситуацию в подсказке домашнего задания, которую можно было бы аргументировать.

Изучение эскизов

Наброски 11º

Чтобы исследовать потенциальную взаимосвязь между углом 11º и уклоном 1/5, учителей предварительной службы попросили создать эскиз линии под углом 11º (см. Рисунок 1).

Рис. 1. Рисунок Арасели под углом 11º (https://ggbm.at/fUN6sNSN).

Исходя из этого эскиза, ожидалось, что учителя предварительного обслуживания могли заметить наклон этой линии, нарисовав прямоугольные треугольники, аналогично тому, как они изучали во время занятия в классе. Однако при анализе набросков, сделанных учителями preservice, только 12 из 31 эскиза были построены (и остаются) под углом 11º. (Все имена, используемые в этой статье, являются псевдонимами.)

Для пяти учителей preservice, похоже, возникла некоторая путаница с указаниями, поскольку они вместо этого создали линии с наклоном 1/5. Однако чаще (в 14 из 31 эскиза) линии не строились под углом 11º. Чаще всего линия строилась через две точки, точку, проходящую через начало координат, и независимую точку (см. Рисунок 2).

Рис. 2. Рисунок Дарлин под углом 11º (https://ggbm.at/hmx272fM).

Независимая точка была размещена таким образом, чтобы угол составлял примерно 11º, но при перемещении точки линия могла измениться на любой угол.Из-за этого неточного измерения угла наклон линии (и правые треугольники вне линии) неточно представляют наклон, полученный при использовании точного угла 11º. Этот вывод, казалось, указывает на отсутствие знаний о технологическом содержании.

Используя конструкции из бумаги и карандаша, можно построить угол, поместив точку и линию, проходящую через эту точку, а затем используя транспортир, чтобы найти такую ​​точку, что при соединении двух точек две линии будут иметь вид заданный угол между ними.В технологической среде происходит важное изменение. Точка не может быть размещена вручную с какой-либо гарантией точности. Вместо этого угол должен быть сконструирован так, чтобы иметь большую степень точности. Учителя Preservice, которые делали это, похоже, не понимали, как установка точки вручную может повлиять на точность их эскиза и влияние, которое это может оказать на дальнейшие исследования в эскизе.

Кроме того, только 15 из 31 эскиза фактически отображали размер линии, полученной в эскизе, в 11 °, давая им знать, какая линия исследуется, без необходимости искать эту информацию на других экранах.Здесь учителя предварительной подготовки не воспользовались преимуществами маркировки, доступной в программной среде динамической геометрии, которая может помочь отобразить информацию о шаблонах изменений или согласованности. Этот момент освещает возможность расширить технологические педагогические познания учителей preservice и то, как отображение информации может повлиять на то, что они или другие пользователи могут почерпнуть из набросков.

В ходе занятий в классе учителя дообслуживания построили прямоугольные треугольники из различных линий, которые они исследовали, сравнивая соотношение длин ног разных треугольников по вертикали и горизонтали, чтобы определить наклон линии.При построении линейных эскизов 11º в эскизах также были построены прямоугольные треугольники для сравнения соотношения длин ног. Однако для восьми из 31 эскиза, когда точки эскиза перетаскивались, эти треугольники не оставались прямоугольными (см. Рис. 3).

Рис. 3. Эскиз Роберта под углом 11º (https://ggbm.at/ETaSAPCx).

Хотя треугольники изначально казались правильными, стороны треугольника не были сконструированы таким образом, чтобы оставаться под прямым углом друг к другу.Таким образом, при изменении отношения длин ног для этих эскизов неточно отображать наклон исследуемой линии. У учителей может быть возможность здесь развить свои технологические педагогические знания. Технологические манипуляции приносят с собой дополнительное требование, чтобы каждый треугольник оставался прямоугольным, а не только исходным. Эти знания важны для использования этого наброска в качестве инструмента для изучения узоров прямоугольных треугольников, выходящих за пределы заданной линии.Если бы треугольники не оставались правильными, у учителей до службы не было бы точной информации, с помощью которой они могли бы обобщить образец.

Некоторые преподаватели preservice не воспользовались динамическим характером программного обеспечения. Четыре учителя preservice создали эскизы, на которых нельзя было манипулировать наклонными треугольниками. За счет фиксации точек созданные треугольники уклона оставались постоянными и статичными, а отображаемые длины оставались неизменными. Для этих эскизов цифровая среда представляла собой среду, для которой можно было измерить более точную длину по сравнению с измерениями линейкой, полученными с помощью карандаша и бумаги в классе.Неясно, был ли этот технологический выбор сделан по какой-либо конкретной причине.

Хотя это явно не требуется в инструкциях по созданию эскиза, при анализе эскизов для линии под углом 11º были сделаны два дополнительных наблюдения. Целью занятия в классе было сравнить угол между линиями и их наклоном, используя соотношение длин ног прямоугольных треугольников, чтобы получить это соотношение. В своих набросках у большинства учителей preservice были динамически помечены стороны своих треугольников (27 из 31), в то время как только 10 из 31 отображали соотношение длин ног в виде отношения или десятичной дроби (что может упростить сравнение между разными склонами).

Непонятно, почему в таком большом количестве эскизов не было этого соотношения. Кроме того, хотя это явно не упоминается в инструкциях, интересно отметить, что для линии угла 11º 22 учителя предварительного обслуживания создали один треугольник на своем эскизе, в то время как восемь учителей предварительного обслуживания создали несколько треугольников (один преподаватель предварительного обслуживания не использовал треугольники ).

Один динамически построенный треугольник можно преобразовать в множество похожих треугольников вместо того, чтобы включать отдельно построенный треугольник для каждого нового измерения.Здесь опять же, мероприятие дает возможность вовлечь преподавателей в беседы с целью дальнейшего развития их технологических педагогических знаний. Возникают возможности обсудить, почему отображение динамического коэффициента наклона или десятичной дроби может быть важно для обобщения шаблонов, или обсудить преимущества и недостатки нескольких конструкций по сравнению с одной конструкцией и почему они могут сделать отношения более или менее трудными для визуализации. У учителей есть возможности по-новому понять, как технологии могут повлиять на математику, к которой пользователи имеют доступ в исследованиях.

Эскизы уклона 2/5

Чтобы исследовать угловую меру, образованную треугольником уклона с соотношением 2/5, учителям предварительной подготовки сначала было поручено создать эскизы, содержащие линию y = (2/5) x , и создайте наклонные треугольники из этих линий, которые помогут им исследовать полученный угол, аналогично исследованиям, которые они проводили в классе (см. рис. 4).

Рис. 4. Kat’s y = (2/5) x , эскиз (https: // ggbm.в / GfRKSkFc).

Двадцать шесть из 31 эскиза содержали линию наклона 2/5. Для семи эскизов, где эта линия не была создана, аналогично построению 11º, на эскизе были размещены две точки (одна в начале координат и одна независимая), через которые проходила линия, которая приближалась к линии y = (2/5 ) х . Однако линия не была точной и не могла оставаться под наклоном 2/5, когда точки перетаскивались и манипулировались. Опять же, казалось, что были некоторые знания технологического содержания, которые не были использованы при создании этих эскизов, чтобы помочь более точно отобразить эти отношения.

Кроме того, только 16 из 31 эскиза были помечены на эскизе, что была создана линия уклона 2/5. Девять эскизов содержали эту информацию на боковом отображении всех точек и линий на эскизе, в то время как эта информация не отображалась в восьми эскизах, предоставляя возможность поговорить о технологических педагогических знаниях и о том, как отображение информации может помочь обеспечить понимание того, что происходит в эскизе.

Подобно результатам эскиза под углом 11º, прямоугольные треугольники, полученные на этих диаграммах, не часто остаются прямоугольными при манипуляциях.Для восьми из 31 эскиза стороны треугольников не были закреплены, чтобы оставаться прямыми треугольниками (см. Рисунок 5). Эта ошибка была проблематичной, когда отрезок прямоугольного треугольника, параллельный оси x , не оставался параллельным оси x , что влияло на измерение угла линии при измерении. Знания о технологическом педагогическом содержании могут быть дополнительно развиты путем обсуждения трудности использования интерактивного эскиза для исследования прямоугольных треугольников, но в нем нет треугольников, которые всегда содержат прямой угол при манипуляциях.

Рис. 5. Адди y = (2/5) x эскиз (https://ggbm.at/yQsbW7uk).

Возможно, потому что целью этого эскиза было исследовать угловую меру линии через наклонные треугольники, длины сторон прямоугольных треугольников отображались только в 19 из 31 треугольника. Угол динамически отображался в 27 из 31 эскиза, которые показали, что манипуляции с треугольниками наклона всегда имели постоянный угол.

Наконец, в то время как большинство преподавателей preservice создали эскизы, которые использовали преимущества программного обеспечения динамической геометрии, четыре созданных эскиза не позволяли манипулировать точками.Вместо этого был создан статический эскиз, который отображал заданную линию, треугольники уклона и угол. Подобно статическим эскизам для угла 11 °, этот подход использовал преимущество точности, предлагаемой цифровой средой, но не динамическими возможностями.

Взгляд через два эскиза

На протяжении всей последовательности действий учителя предварительной службы исследовали взаимосвязь между углами линий на декартовой плоскости и наклонами этих линий. Для малых углов, казалось, существует линейная зависимость между углом и наклоном линии, что привело многих учителей preservice к первоначальному предположению, что угол 11º и 22º и уклон 1/5 и уклон 2/5 будут продолжаться линейно.Однако эти меры не точны (углы измеряются с точностью до градуса), а наклоны были наилучшими оценками, основанными на рисунках, сделанных карандашом и бумагой. Чтобы помочь исследовать более точную закономерность между этими двумя переменными и продолжить изучение этой взаимосвязи с помощью наклонных треугольников, полученных в результате упражнений с бумагой и карандашом, учителям preservice было поручено создать два эскиза линий с углом 11º и с 2 / 5, которые были динамическими и позволяли манипулировать созданными треугольниками наклона для исследования взаимосвязи.

При создании этих набросков были пересечены математические, педагогические и технологические аспекты понимания. Наброски, сделанные учителями preservice, различались по качеству и иногда мешали соблюдению желаемых шаблонов. Одна из самых фундаментальных проблем связана с тем, какие функции должны оставаться постоянными и неизменными в создаваемых эскизах. Учителей preservice попросили построить эскизы, которые имели линии 11º и уклон 2/5, и построить динамические треугольники уклона от этих линий.Цель заключалась в том, чтобы заметить закономерности в соотношении длин ног или угла, под которым линия проходит с заданным наклоном.

Чтобы заметить эти узоры, линии должны быть зафиксированы под углом 11º или с наклоном 2/5. Без того, чтобы каждая функция оставалась постоянной, становится намного труднее наблюдать, как соответствующие измерения изменяются или остаются постоянными. Чтобы создавать эскизы, которые следуют этим правилам, учителям предварительного обслуживания необходимо было понимать не только, как создавать линии, но и создавать их так, чтобы они оставались фиксированными на основе желаемой меры (угла или наклона).Учителя Preservice оказались лучше способны создать фиксированную линию наклона 2/5, чем линию 11º.

Возможно, этот комфорт объясняется знакомством с другими стандартными технологиями построения графиков, которые просят пользователей отображать отношения как функции x , в отличие от построения графиков на основе углов. Этот подход может быть особенностью, в которой начинающим учителям потребуется дополнительная поддержка, поскольку они включают такие функции в свои наброски.

Вторая проблема, которая возникла в нескольких эскизах, заключалась в способе создания прямоугольных треугольников из заданных линий, которые не оставались бы прямыми углами, если бы их переместили.Преподавателям preservice нужно было продумать, с какой точкой или точками они хотят взаимодействовать, и как обеспечить, чтобы прямоугольный треугольник всегда получался в результате манипулирования доступными точками. Если манипулируемая точка расположена под прямым углом, то на основе этой единственной точки можно построить две линии, перпендикулярные друг другу и параллельные осям x и y .

Однако, если точка на прямой, где одна из катетов треугольника пересекает гипотенузу, построена первой, эта точка не определяет две другие вершины прямоугольного треугольника.Вторая точка (либо на прямой, либо под прямым углом) должна быть создана для определения треугольника уклона. В этой конструкции две точки определяют треугольник и с ними можно взаимодействовать, вместо одной в предыдущем построении.

Обе эти проблемы могут быть решены путем предоставления учителям preservice возможности дальнейшего развития их TPACK. Этим начинающим учителям нужен дополнительный опыт, чтобы критически осмыслить, как использовать технологии, и строить наброски и упражнения с технологией особым образом, которые являются математически точными и позволяют замечать, исследовать и даже обобщать закономерности на основе опыта работы с технологиями.Они должны больше, чем расширять свои знания по математике, обучению или технологическим знаниям по отдельности. Это уникальное знание, которое возникает при рассмотрении вопроса о том, как эффективно включить технологии в преподавание и изучение математики.

Программа для динамической геометрии и подготовка учителей математики, 2006). При создании карандашом и бумагой или при первоначальном открытии эскиза фигуры статичны и неизменны. Однако динамический характер программного обеспечения добавляет уровень планирования для учителей preservice, выходящий за рамки того, о чем они думали бы при создании статических набросков, что меняет их возможности для обучения.

С помощью программного обеспечения учителя предварительного обслуживания должны решить, какие аспекты их диаграммы должны быть подвижными, а какие — фиксированными. Это соображение является уникальным при использовании динамических технологических сред и может быть решено путем разработки TPACK для начинающих учителей.После того, как желаемый вариант и инвариантные аспекты определены, учителя предварительного обслуживания также должны продумать, как сделать оставшуюся часть своего эскиза и как размещение точек и линий может сделать последующие фигуры динамическими или фиксированными, независимыми или зависимыми от других построенных частей. Уникальность динамических геометрических сред заключается в том, что создатели эскизов должны учитывать, какие математические отношения они хотят, чтобы их эскиз помогал проиллюстрировать посредством манипуляций.

Среда динамической геометрии позволяет выделить несколько математических практик (Центр передового опыта Национальной ассоциации губернаторов и Совет директоров школ штата, 2010).Программное обеспечение такого типа можно использовать, чтобы помочь учителям-консультантам строить догадки и замечать закономерности. Несколько примеров эскиза (в данном случае наклонные треугольники линии) могут быть перерисованы в быстрой последовательности, что позволяет пользователям видеть, что изменяется и что остается постоянным при перемещении точек и рассмотрении различных треугольников.

Преподаватели Preservice, однако, не всегда пользуются этими преимуществами. Эскизами не всегда можно манипулировать, и учителя могут полагаться на отдельные фиксированные фигуры и соответствующие им размеры.Кроме того, хотя одну фигуру можно перетащить, чтобы отобразить несколько фигур, некоторые учителя preservice включили в свои наброски несколько треугольников, которые не запрашивались в направлениях. Эти фиксированные наброски и многочисленные примеры являются общей чертой диаграмм из бумаги и карандаша, которые статичны по самой своей природе и должны иметь несколько итераций фигуры, чтобы заметить, что на рисунке постоянно, а что может варьироваться. Опять же, учителя должны иметь опыт, чтобы они могли подумать о том, как аспекты программного обеспечения динамической геометрии могут изменить требования к диаграмме и как пользователи взаимодействуют с эскизом, чтобы заметить математические взаимосвязи.

Кроме того, технологическая среда позволяет преподавателям математики и начинающим учителям отслеживать построение эскиза. Эта технологическая способность позволяет раскрыть историю этих диаграмм (Sinclair et al., 2012) путем просмотра последовательного журнала каждого шага, предпринятого во время создания эскиза, тогда как эта последовательность остается скрытой в статических нарисованных диаграммах.

Эти эскизы можно сравнивать на предмет различных отношений родитель-потомок, использованных при создании эскиза, подчеркивая, почему одни элементы эскиза различаются, а другие остаются неизменными.Два эскиза, которые могут показаться похожими, могут быть построены с помощью разных методов, подчеркивая использование различных педагогических свойств и позволяя предварительным учителям увидеть логику, используемую для построения этих эскизов, чтобы выделить определенные математические отношения.

Преподаватели математики, которые поддерживают начинающих и опытных учителей в обучении математике с помощью технологий, должны знать о типичных проблемах и ошибках, подобных описанным здесь. Беседы, которые мы ведем с этими учителями, должны включать не только то, как использовать определенные элементы технологии, но также сильные стороны и ограничения использования этой технологии для преподавания определенного содержания, в том числе того, как следует строить эскизы, чтобы выделить определенные математические явления.Кроме того, мы можем объяснить этим начинающим учителям общие ошибки или проблемы с использованием технологий, которые могут помешать распознаванию закономерностей и взаимосвязей.

По мере того, как эти preservice учителя выходят на поля и используют технологические инструменты со своими учениками, им необходимо помнить о том, что способы, которыми они строят наброски для развития собственного понимания математики, могут нуждаться в адаптации для различных учащихся. свои классы. Хотя они, как создатели скетчей, могут понимать механику поведения своих скетчей, ученики в своих классах не имеют доступа к этой информации.Таким образом, при разработке эскизов необходимо проявлять осторожность, чтобы математические шаблоны, которые могут видеть пользователи, были точными, отношения были переменными или постоянными заданными способами, отображалась соответствующая информация, а эскиз сводил к минимуму трудности, которые могут помешать исследованию.

Знание, позволяющее эффективно использовать технологии в преподавании и изучении математики, предполагает взаимодействие нескольких областей (Mishra & Koehler, 2006). Учителя должны знать, какое математическое содержание следует выделить, как построить наброски для иллюстрации содержания математики и как взаимодействие учащихся с эскизами может скрыть или выделить математическое содержание.

Затем возникает вопрос о том, когда и где предварительные учителя будут узнавать о преподавании математики с помощью технологий и кто отвечает за это обучение. Является ли это обучение ролью содержательных курсов для учителей, где основное внимание может быть уделено математике и как технологии могут использоваться с различными предметными областями? Возможно, это обучение происходит на методических курсах, где основное внимание может быть уделено тому, как учителя до службы думают и понимают математику, и как они могут исследовать закономерности с задачами высокого уровня, которые включают технологии трансформирующими способами (Hughes et al., 2006).

Может быть, в некоторых программах подготовки учителей есть специальные курсы по преподаванию и обучению с использованием технологий, в ходе которых учителя предварительного обучения узнают о множестве технологических инструментов, которые можно использовать в разных предметных областях. Между математикой, технологией и педагогикой происходит сложное взаимодействие, поскольку учителя пытаются использовать программное обеспечение динамической геометрии, чтобы помочь предварительным учителям прийти к глубокому пониманию содержания математики. В некотором смысле знания, необходимые для использования подобных инструментов, отличаются от знаний в рамках обычного курса содержания или методов (Mishra & Koehler, 2006).Если учителя должны в полной мере использовать возможности, которые предлагают технологические инструменты, то в программах подготовки учителей необходимо уделять особое внимание тому, чтобы помочь предварительным и начинающим учителям научиться эффективно разрабатывать и внедрять технологический опыт.

Ссылки

Brakoniecki, A., Glassmeyer, D., & Amador, J. (2016). Изучение предработного учителя, думающего о тригонометрических исследованиях на основе технологий, через заменяющую, расширяющую и трансформирующую структуру.В M. B. Wood, E. E. Turner, M. Civil, & J. A. Eli (Eds.), Proceedings 38-го ежегодного собрания Североамериканского отделения Международной группы психологии математического образования (стр. 1463–1470). Тусон, Аризона: Университет Аризоны.

Хьюз, Дж., Томас, Р., и Шарбер, К. (2006). Оценка интеграции технологий: RAT — Замена, усиление и преобразование — структура (том 2006, стр. 1616–1620). Документ, представленный на Международной конференции Общества информационных технологий и педагогического образования.Получено с www.editlib.org/p/22293

Mishra, P., & Koehler, M. J. (2006). Технологическое педагогическое содержание знаний: основа для знаний учителя. Педагогический колледж Record , 108 (6), 1017–1054.

Центр передового опыта Национальной ассоциации губернаторов и Совет директоров государственных школ. (2010). Единые основные государственные стандарты по математике . Вашингтон, округ Колумбия: Авторы.

Шульман, Л. С. (1986). Те, кто понимает: рост знаний в обучении. Исследователь в области образования , 15 (2), 4–14.

Синклер, Н., Хили, Л., & Сейлз, К. О. Р. (2009). Время рассказывать истории: повествовательное мышление с динамической геометрией. ZDM , 41 (4), 441–452. doi.org/10.1007/s11858-009-0180-x

Синклер, Н., Скелин, М., и Пимм, Д. (2012). Развитие основных знаний о геометрии для обучения математике в 9–12 классах . Рестон, Вирджиния: Национальный совет учителей математики.

Троцкий А. (2014). Оценка и написание задач динамической геометрии. Учитель математики , 107 (9), 701–705. doi.org/10.5951/mathteacher.107.9.0701

Всего просмотров 955, сегодня 2 просмотра

Рабочие листы с геометрическими линиями {легкий художественный проект для детей!}

В сегодняшнем посте: соедините точки с помощью линейки для создания красивых геометрических линий.

Сегодня я поделюсь бесплатным распечатанным геометрическим рисунком.Это легкое занятие для детей, не требующее специальных принадлежностей. Просто распечатайте листы и используйте ручку и линейку, чтобы начать соединять точки — довольно круто видеть дизайны, которые вы можете создать, используя только прямые линии!

ПРИМЕЧАНИЕ. Этот проект лучше всего подходит для детей немного старше, возможно, от 3-го класса и старше.

Эти рабочие листы забавны, потому что все, что вы делаете, это рисуете прямые линии, соединяющие точки, а затем линии в итоге образуют кривые. Я уверен, что есть много математических понятий, о которых вы могли бы говорить, выполняя эти рабочие листы … но, честно говоря, я не уверен, что они из себя представляют.Я изучал математику еще в старшей школе, но я не могу вспомнить даже крохотную часть этого! Ну да ладно…

Я создал видео, которое вы можете посмотреть, чтобы увидеть, как работают эти рабочие листы. Обратите внимание: если видео не отображается ниже, это означает, что вы используете блокировщик рекламы. Добавьте этот сайт в белый список, чтобы посмотреть видео. Я знаю, что никому не нравится смотреть рекламу, но они позволяют мне создавать для вас тонны бесплатного контента. Спасибо!

Рабочие листы для печати штриховых рисунков

На этих листах можно использовать любую ручку или карандаш.Нам нравится этот набор ультратонких Sharpies, потому что он имеет широкий спектр цветов на выбор, но дизайн также выглядит круто в черном цвете.

Я создал 5 разных рабочих листов, которые вы можете распечатать, чтобы ваши дети (или вы сами!) Поигрались с ними. Этот первый самый простой, он имеет параболическую форму. Или что-то типа того. Как упоминалось ранее, я почти ничего не могу вспомнить из школьной математики, поэтому я больше не помню, что такое парабола. Мои подростки говорят мне, что это больше похоже на экспоненциальную функцию, чем на параболу 🤷‍♀️.Но когда я написал название на листе, я назвал его трехточечной параболой, так я и называю это. В любом случае, Parabola — это самый простой рабочий лист для начала, и он даст вам хорошую практику для более сложных вариантов. Точки пронумерованы, поэтому вам просто нужно нарисовать линии, чтобы соединить совпадающие числа. Легкий!

Щелкните здесь, чтобы загрузить рабочий лист по 3-точечной параболе с рисунком

Как только вы поймете, как работает трехточечная парабола, вы можете переходить к калейдоскопу.Этот дизайн в основном состоит из 6 парабол, вместе взятых. На этом листе нет цифр, потому что было бы слишком сложно пометить все точки! Так что сначала убедитесь, что вы практикуете параболу, и все будет хорошо. И распечатайте несколько дополнений на случай, если вы сделаете ошибку.

Калейдоскоп действительно забавный, если вы используете разные цвета для каждого набора линий.

Нажмите здесь, чтобы загрузить рабочий лист «Калейдоскоп Line Art»

5-точечный цветок — еще одна вариация оригинальной 3-точечной параболы.Он состоит из пяти соединенных треугольников. Разница в том, что в каждом треугольнике вы рисуете линии, соединяющие внешний край треугольника с каждой из двух других сторон, НО вы НЕ соединяете эти две стороны вместе, что дает вам форму лепестка. Вы можете распечатать этот рабочий лист с числами или без них.

Нажмите здесь, чтобы распечатать 5-балльную таблицу цветов с номерами

Нажмите здесь, чтобы распечатать 5-балльную таблицу цветов без номеров

Больше листов для рисования линий

На следующем листе создается звездочка.Этот работает немного иначе, чем три выше, поэтому обязательно следите за числами!

Щелкните здесь, чтобы загрузить рабочий лист Star Line Art.

Последний лист рисунка — Мистическая Роза. Опять же, этот работает немного иначе, чем первые три. Вы можете начать снаружи, соединив каждую точку с точкой рядом с ней. Затем вы нарисуете линии, в которых пропускает точку. Затем вы нарисуете линии, которые пропускают две точки .Продолжайте, пока вам не понравится, как выглядит роза!

На самом деле, вы можете поиграть с соединением точек, как хотите, для разнообразия или результатов.

Нажмите здесь, чтобы загрузить лист Mystic Rose Line Art Worksheet

Надеюсь, вам понравятся эти листы штрихового рисунка! Щелкните здесь, чтобы увидеть другие художественные и поделки для детей.

.